Συνεχής!

#1

Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $f,g: \Bbb{R}\to \Bbb{R}$ για τις οποίες ισχύει g(f(x))+f(x)=x,

για κάθε $x\in \Bbb{R}.$
Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής.

Ορέστης Λιγνός · #2

socrates έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 17, 2022 4:08 pm
Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $f,g: \Bbb{R}\to \Bbb{R}$ για τις οποίες ισχύει για κάθε $x\in \Bbb{R}.$
Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής.

Μια εκτός φακέλου λύση

Έστω τυχαίο $\epsilon >0$ και $x_0 \in \mathbb{R}$ . Έστω επίσης $\delta=\dfrac{\epsilon}{2}$ . Θα δείξουμε ότι για κάθε

με $|x-x_0| <\delta$ ισχύει ότι $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ , οπότε προκύπτει το ζητούμενο.

Είναι $|x-x_0| <\delta$ άρα $x_0-\delta<x<x_0+\delta$ , οπότε

$f(x)=x-g(f(x))>(x_0-\delta)-g(f(x_0+\delta))=(x_0-\delta)-(x_0+\delta-f(x_0+\delta))=$

$=f(x_0+\delta)-2\delta>f(x_0)-\epsilon$ και

$f(x)=x-g(f(x))<(x_0+\delta)-g(f(x_0-\delta))=(x0+\delta)-(x_0-\delta-f(x_0-\delta))=$

$=2\delta+f(x_0-\delta)<f(x_0)+\epsilon,$

οπότε τελικά $f(x_0)-\epsilon<f(x)<f(x_0)+\epsilon$ , δηλαδή $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ , όπως θέλαμε.

BAGGP93 · #3

Άλλη μια ιδέα. Ορέστη ωραία λύση.

Έστω τυχόν $a\in\mathbb{R}$ και θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to a}(f(x)-f(a))=0}$ .

Για $x\in\mathbb{R}$ έχουμε $f(x)-f(a)=(x-a)-(g(f(x))-g(f(a)))\,\,(1)$ .

Για x<a

και από το γεγονός ότι οι $f,\,g$ είναι γνησίως αύξουσες προκύπτει

f(x)-f(a)<0

και από την (1)

, $\,\,x-a<f(x)-f(a)$ διότι g(f(x))-g(f(a))<0

.

Συνεπώς, x-a<f(x)-f(a)<0

, όπου από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\to a^{-}}(f(x)-f(a))=0}$

Με ίδια επιχειρήματα όταν x>a

, βρίσκουμε 0<f(x)-f(a)<x-a

και κατά συνέπεια $\displaystyle{\lim_{x\to a^{+}}(f(x)-f(a))=0}$

Τελικά, $\displaystyle{\lim_{x\to a}(f(x)-f(a))=0}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Εκτός φακέλλου μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι για μια μονότονη συνάρτηση
τα
$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x),\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$

υπάρχουν στο $\mathbb{R}$

Επίσης μπορεί να αποδειχθεί ότι και η

είναι συνεχής περιορισμένη στο $f(\mathbb{R})$

Συνεχής!

Συνεχής!

Re: Συνεχής!

Re: Συνεχής!

Re: Συνεχής!

Μέλη σε σύνδεση