Επί της διχοτόμου

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12736
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επί της διχοτόμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιουν 05, 2021 8:22 am

Επί  της  διχοτόμου.png
Επί της διχοτόμου.png (139.44 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές
Δείξτε ότι υπάρχει a>1 , ώστε ένα από τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων :

f(x)=a^2lnx   \: και : \: g(x)=a(x-1)^2 , να βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση : y=x .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10729
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επί της διχοτόμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 05, 2021 11:04 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 05, 2021 8:22 am
Επί της διχοτόμου.pngΔείξτε ότι υπάρχει a>1 , ώστε ένα από τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων :

f(x)=a^2lnx   \: και : \: g(x)=a(x-1)^2 , να βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση : y=x .
Αρχικά λύνω την εξίσωση \displaystyle g(x) = x για x>1, a>1 και βρίσκω \displaystyle x_0 = \frac{{2a + 1 + \sqrt {4a + 1} }}{{2a}}

Θα δείξω ότι υπάρχει a>1 , ώστε f(x_0)=x_0.

Πράγματι, η συνάρτηση \displaystyle h(a) = {a^2}\ln \frac{{2a + 1 + \sqrt {4a + 1} }}{{2a}} - \frac{{2a + 1 + \sqrt {4a + 1} }}{{2a}}

είναι συνεχής στο \displaystyle \left[ {\frac{3}{2},2} \right] με \displaystyle h\left( {\frac{3}{2}} \right)h(2) < 0 και το ζητούμενο έπεται. Προσεγγιστικά a\simeq 1,679.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες