Διπλάσια γωνία 19

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διπλάσια γωνία 19

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 16, 2021 10:04 pm

Διπλάσια  γωνία 19.png
Διπλάσια γωνία 19.png (8.02 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές
Στην προέκταση της πλευράς AB=3 , ενός τετραγώνου ABCD , κινείται σημείο S .

Δείξτε ότι υπάρχει θέση του S για την οποία \widehat{ASD}=2\widehat{CSD} και εντοπίστε διάστημα

μήκους 1 , στο οποίο βρίσκεται αυτό το S . ( Θεωρήστε ως αρχή το B ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4870
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διπλάσια γωνία 19

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Ιαν 17, 2021 11:47 am

Kαλημέρα σε όλους. Για το 1ο ερώτημα μια απάντηση, δίχως λογισμικό.

17-01-2021 Γεωμετρία.png
17-01-2021 Γεωμετρία.png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές


Έστω S(0,0), B(a,0), A(a+3,0), C(a, aεφ3θ), D(a+3), (a+3)εφ2θ), με  \displaystyle 0 < \theta  < \frac{\pi }{6},\;\;a > 0 .

Αρκεί  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
a\varepsilon \varphi 3\theta  = 3\\ 
\left( {a + 3} \right)\varepsilon \varphi 2\theta  = 3 
\end{array} \right.

Ονομάζω  \displaystyle \varepsilon \varphi \theta  = t,\;\;0 < t < \frac{{\sqrt 3 }}{3} , οπότε το σύστημα γίνεται  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
a = \frac{{3 - 9{t^2}}}{{3t - {t^3}}}\\ 
\frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\left( {a + 3} \right) = 3 
\end{array} \right.

Αντικαθιστώ την τιμή του a στη 2η, η οποία γίνεται

 \displaystyle {t^5} + 2{t^4} + 2{t^3} - 6{t^2} + t = 0 \Leftrightarrow t\left( {t - 1} \right)\left( {{t^3} + 3{t^2} + 5t - 1} \right) = 0

Η πολυωνυμική συνάρτηση  \displaystyle f:\left[ {0,\;\frac{\pi }{{12}}} \right] \to R,\;\;\;f\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} + 5t - 1 είναι γν. αύξουσα, συνεχής κι έχει  \displaystyle f\left( 0 \right) = 1,\;f\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 56 - 32\sqrt 3 , άρα από Θ. Βolzano, έχει μία ρίζα στο διάστημα  \displaystyle \left( {0,\;2 - \sqrt 3 } \right) , δηλαδή όταν  \displaystyle 0 < \theta  < \frac{\pi }{{12}} .

Για το 2ο ερώτημα με τη βοήθεια λογισμικού, βρίσκω ακέραιες τιμές μεταξύ 5 και 6. Προσεγγιστικά περιορίζω το διάστημα στο θ. Bolzano μεταξύ (0.175 , 0.18)
Δεν έχει νόημα να δώσω πλήρη απάντηση, αφού δεν είναι "χειροποίητη".


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης