Όριο και Διάταξη - Απορία

db0 · #1

Καλησπέρα σας,

Τα παρακάτω δύο θεωρήματα αν και μπορώ να τα χρησιμοποιήσω για λύσεις ασκήσεων, νιώθω πως δεν έχω πλήρης κατανόηση για το τι πραγματικά υποστηρίζουν. Θα μπορούσε κάποιος να τα εξηγήσει διαγραμματικά καθώς και γιατί αντί για συνεπαγωγή δεν μπορούμε να βάλουμε ισοδυναμία;

Σας ευχαριστώ!

Θ.1
$\lim_{x \to x_0}f(x) > 0 \Rightarrow f(x) > 0$ για

κοντά στο

Θ.2
Αν οι συναρτήσεις f, g

έχουν όριο στο x_0

και ισχύει $f(x) \leq g(x)$ κοντά στο x_0

, τοτε:
$\lim_{x \to x_0}f(x) \leq \lim_{x \to x_0}g(x)$

Tolaso J Kos · #2

db0 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 9:43 pm
Καλησπέρα σας,

Τα παρακάτω δύο θεωρήματα αν και μπορώ να τα χρησιμοποιήσω για λύσεις ασκήσεων, νιώθω πως δεν έχω πλήρης κατανόηση για το τι πραγματικά υποστηρίζουν. Θα μπορούσε κάποιος να τα εξηγήσει διαγραμματικά καθώς και γιατί αντί για συνεπαγωγή δεν μπορούμε να βάλουμε ισοδυναμία;

Σας ευχαριστώ!

Θ.1
$\lim_{x \to x_0}f(x) > 0 \Rightarrow f(x) > 0$ για κοντά στο

Δε μπορείς να βάλεις ισοδυναμία γιατί το όριο δε κρατά τη διάταξη. Για παράδειγμα είναι f(x)=x>0

για κάθε $x \in (0, 1)$ όμως $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} f(x)=0}$ . Το αντίστροφο , θαρρώ ότι είναι προφανές.

: Screenshot_2020-12-10 imgB1_153 jpg (JPEG εικόνα, 592 × 209 εικονοστοιχεία).png (16.01 KiB) Προβλήθηκε 680 φορές

Όμοια και το θεώρημα 2.

#3

: Παράδειγμα1.png (14.36 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές

Δες και κάτι για το δεύτερο θεώρημα.

Για τις συναρτήσεις : $f(x) = |x|\,\,,x \ne 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,g(x) = - {x^2}\,\,,x \ne 0$ ισχύει:

f(x) > g(x)

, ενώ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 0$

db0 · #4

Καλησπέρα σας και ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις.

Μπορούμε να πούμε ότι ισχύει η ισοδυναμία, αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς;

#5

db0 έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 11, 2020 9:19 pm
Καλησπέρα σας και ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις.

Μπορούμε να πούμε ότι ισχύει η ισοδυναμία, αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς;

OXI !

Δες πχ το παραπάνω γραφικό παράδειγμα του κυρίου Φραγκάκη.

Και παραγωγίσιμες να είναι οι συναρτήσεις, πάλι όχι είναι η απάντηση !
Καλή μελέτη !

#6

db0 έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 11, 2020 9:19 pm
Μπορούμε να πούμε ότι ισχύει η ισοδυναμία, αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς;

Ήδη σου απάντησαν παραπάνω, αλλά να μία άσκηση για σένα:

Βρες αντιπαράδειγμα σε αυτό που λες με την μία συνάρτηση σταθερή (πιο παραγωγίσιμη από αυτήν, δεν γίνεται)
και την άλλη ένα απλό πολυώνυμο δευτέρου βαθμού.

KARKAR · #7

: θετική.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές

Η συνάρτηση

παίρνει μόνο θετικές τιμές ( γιατί ; ) , εντούτοις : $\lim\limits_{x \to 0}f(x)=0$

#8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 12, 2020 1:42 am

db0 έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 11, 2020 9:19 pm
Μπορούμε να πούμε ότι ισχύει η ισοδυναμία, αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς;
Ήδη σου απάντησαν παραπάνω, αλλά να μία άσκηση για σένα:

Βρες αντιπαράδειγμα σε αυτό που λες με την μία συνάρτηση σταθερή (πιο παραγωγίσιμη από αυτήν, δεν γίνεται)
και την άλλη ένα απλό πολυώνυμο δευτέρου βαθμού.

Προς db0: Σου έδωσε παράδειγμα ο Θανάσης στο αμέσως προηγούμενο ποστ (που καλά είναι να το συγκρατήσεις γιατί είναι χρήσιμη συνάρτηση για πολλές περιπτώσεις) αλλά περιμένουμε από εσένα μία απλή συνάρτηση, όπως γράφω στο ποστ μου.

Θα χαρούμε να δούμε τι έκανες.

Όριο και Διάταξη - Απορία

Όριο και Διάταξη - Απορία

Re: Όριο και Διάταξη - Απορία

Re: Όριο και Διάταξη - Απορία

Re: Όριο και Διάταξη - Απορία

Re: Όριο και Διάταξη - Απορία

Re: Όριο και Διάταξη - Απορία

Re: Όριο και Διάταξη - Απορία

Re: Όριο και Διάταξη - Απορία

Μέλη σε σύνδεση