Έχει λύση!

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4613
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Έχει λύση!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Δεκ 10, 2020 12:55 pm

Έστω \varphi συνεχής συνάρτηση στο \mathbb{R} τέτοια ώστε \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\varphi(x)}{x^{1913}} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\varphi(x)}{x^{1913}} = 0 }. Να δειχθεί ότι η εξίσωση \varphi(x) + x^{1913} =0 έχει τουλάχιστον μία λύση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1946
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Έχει λύση!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Δεκ 10, 2020 1:26 pm

Ας είναι h(x)=\varphi(x)+x^{1913},x\in\mathbb{R} και ας υποθέσουμε ότι h(x)\neq0 για κάθε x\in\mathbb{R}.

Τότε η h ως συνεχής συνάρτηση θα διατηρεί πρόσημο στο πεδίο ορισμού της.

Αν h(x)<0 για κάθε x\in\mathbb{R}.

lim_{x \rightarrow +\infty}h(x)=lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{h(x)x^{1919}}{x^{1919}}=lim_{x \rightarrow +\infty} (\frac{\varphi(x)}{x^{1913}}+1)x^{1913} =+\infty

δηλαδή υπάρχει μεγάλος θετικός αριθμός x_0 όπου h(x_0)>0 άτοπο.

Αν h(x)>0 για κάθε x\in\mathbb{R}.

lim_{x \rightarrow -\infty}h(x)=lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{h(x)x^{1919}}{x^{1919}}=lim_{x \rightarrow -\infty} (\frac{\varphi(x)}{x^{1913}}+1)x^{1913} =-\infty

δηλαδή υπάρχει μικρός αρνητικός αριθμός x_0 όπου h(x_0)<0 άτοπο.

άρα η h δεν διατηρεί το πρόσημο της, δηλαδή υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα, που σημαίνει ότι η εξίσωση \varphi(x)+x^{1913}=0 έχει μία τουλάχιστον λύση.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης