Συνέχεια γνησίως μονότονης

Tolaso J Kos · #1

Έστω

συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ και η ευθεία $y=\alpha x + \beta$ όπου $\alpha>0$ . Να δειχθεί ότι:

$\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \left ( f(x) - \alpha x - \beta \right ) = -\infty$ .
η $\mathcal{C}_f$ έχει μοναδικό σημείο τομής με την ευθεία αυτή.

Christos.N · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 12:53 pm

$\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \left ( f(x) - \alpha x - \beta \right ) = -\infty$ .

Η εικόνα $f(\Delta)$ μιας μη σταθερής και συνεχούς συνάρτησης είναι διάστημα και

για $\Delta=\mathbb{R}$ για την συνεχή και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση

έχουμε: $f(\Delta)=(lim_{x\to +\infty}f(x),lim_{x\to -\infty}f(x))$ .

Απο τα παραπάνω :

$lim_{x\to +\infty}f(x)<lim_{x\to -\infty}f(x)$

με τις τιμές των ορίων να είναι μία απο τις παρακάτω περιπτώσεις κάθε φορά και τους συνδιυασμούς αυτών.

$lim_{x\to +\infty}f(x)=\begin{cases} a\in \mathbb{R} &\\ -\infty \end{cases}$ (1)

και $lim_{x\to -\infty}f(x)=\begin{cases} b\in \mathbb{R} &\\ +\infty \end{cases}$ (2)

με

.

Επειδή $lim_{x\to+\infty}(\alpha x + \beta)=lim_{x\to+\infty}(\alpha x )=+\infty$ τότε:

$\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \left ( f(x) - \alpha x - \beta \right )\overset{(1)}{ =}-\infty$ (3)

αντίστοιχα αποδυκνείεται ότι $\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \left ( f(x) - \alpha x - \beta \right )\overset{(1)}{ =}+\infty$ (4)

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 12:53 pm

ii. η $\mathcal{C}_f$ έχει μοναδικό σημείο τομής με την ευθεία αυτή.

Θεωρώντας την συνάρτηση $h(x)=f(x) - \alpha x - \beta,x\in\mathbb{R}$ έχουμε ότι είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της με

$h(\Delta)\overset{(3),(4)}{=}\mathbb{R}$ ,

άρα $0\in\mathbb{R}$ δηλαδή υπάρχει $x_0 \in\mathbb{R}:h(x_0)=0$ και είναι μοναδικό γιατί

είναι

συνάρτηση.

Δήλαδή δείξαμε ότι η $\mathcal{C}_f$ έχει μοναδικό σημείο τομής με την $y= \alpha x + \beta$ .

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 12:53 pm
Έστω συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ και η ευθεία $y=\alpha x + \beta$ όπου $\alpha>0$ . Να δειχθεί ότι:

$\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \left ( f(x) - \alpha x - \beta \right ) = -\infty$ .

η $\mathcal{C}_f$ έχει μοναδικό σημείο τομής με την ευθεία αυτή.

Για το i) πιο απλά και χωρίς χρήση της συνέχειας της

.

Αφού παίρνουμε όριο στο $+\infty$ μπορούμε χωρίς βλάβη να θεωρήσουμε ότι $x\ge 0$ , οπότε και $f(x) \le f(0)$ . Άρα (για τα ίδια αυτά

)

$f(x) - \alpha x - \beta \le f(0) - \alpha x - \beta = - \alpha x - \gamma \to - \infty$

Συνέχεια γνησίως μονότονης

Συνέχεια γνησίως μονότονης

Re: Συνέχεια γνησίως μονότονης

Re: Συνέχεια γνησίως μονότονης

Μέλη σε σύνδεση