Συνέχεια γνησίως μονότονης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4680
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Συνέχεια γνησίως μονότονης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Δεκ 10, 2020 12:53 pm

Έστω f συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο \mathbb{R} και η ευθεία y=\alpha x + \beta όπου \alpha>0. Να δειχθεί ότι:
  1. \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \left ( f(x) - \alpha x - \beta \right ) = -\infty.
  2. η \mathcal{C}_f έχει μοναδικό σημείο τομής με την ευθεία αυτή.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1972
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Συνέχεια γνησίως μονότονης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Δεκ 10, 2020 2:13 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Δεκ 10, 2020 12:53 pm
  1. \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \left ( f(x) - \alpha x - \beta \right ) = -\infty.
Η εικόνα f(\Delta) μιας μη σταθερής και συνεχούς συνάρτησης είναι διάστημα και

για \Delta=\mathbb{R} για την συνεχή και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f έχουμε: f(\Delta)=(lim_{x\to +\infty}f(x),lim_{x\to -\infty}f(x)).

Απο τα παραπάνω :

lim_{x\to +\infty}f(x)<lim_{x\to -\infty}f(x)

με τις τιμές των ορίων να είναι μία απο τις παρακάτω περιπτώσεις κάθε φορά και τους συνδιυασμούς αυτών.

lim_{x\to +\infty}f(x)=\begin{cases} a\in \mathbb{R} &\\ -\infty \end{cases} (1) και lim_{x\to -\infty}f(x)=\begin{cases} b\in \mathbb{R} &\\ +\infty \end{cases} (2)

με a<b.

Επειδή lim_{x\to+\infty}(\alpha x + \beta)=lim_{x\to+\infty}(\alpha x )=+\infty τότε:

\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \left ( f(x) - \alpha x - \beta \right )\overset{(1)}{ =}-\infty (3)

αντίστοιχα αποδυκνείεται ότι \lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \left ( f(x) - \alpha x - \beta \right )\overset{(1)}{ =}+\infty (4)
Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Δεκ 10, 2020 12:53 pm

ii. η \mathcal{C}_f έχει μοναδικό σημείο τομής με την ευθεία αυτή.
Θεωρώντας την συνάρτηση h(x)=f(x) - \alpha x - \beta,x\in\mathbb{R} έχουμε ότι είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της με

h(\Delta)\overset{(3),(4)}{=}\mathbb{R},

άρα 0\in\mathbb{R} δηλαδή υπάρχει x_0 \in\mathbb{R}:h(x_0)=0 και είναι μοναδικό γιατί h είναι 1-1 συνάρτηση.

Δήλαδή δείξαμε ότι η \mathcal{C}_f έχει μοναδικό σημείο τομής με την y= \alpha x + \beta.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13575
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνέχεια γνησίως μονότονης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 10, 2020 6:06 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Δεκ 10, 2020 12:53 pm
Έστω f συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο \mathbb{R} και η ευθεία y=\alpha x + \beta όπου \alpha>0. Να δειχθεί ότι:
  1. \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \left ( f(x) - \alpha x - \beta \right ) = -\infty.
  2. η \mathcal{C}_f έχει μοναδικό σημείο τομής με την ευθεία αυτή.
Για το i) πιο απλά και χωρίς χρήση της συνέχειας της f.

Αφού παίρνουμε όριο στο +\infty μπορούμε χωρίς βλάβη να θεωρήσουμε ότι x\ge 0, οπότε και f(x) \le f(0). Άρα (για τα ίδια αυτά x)

  f(x) - \alpha x - \beta  \le  f(0) - \alpha x - \beta =  - \alpha x - \gamma \to - \infty


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης