mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 06, 2020 3:14 am**

Δίδεται συνεχής συνάρτηση $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε f(x)>0

για κάθε

και

$\displaystyle{f \left ( \frac{\alpha}{\beta} \right ) f \left ( \frac{\beta}{\gamma} \right ) f \left ( \frac{\gamma}{\alpha} \right ) = 1}$
όπου $0<\alpha< \beta<\gamma$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi>0$ τέτοιο ώστε $f(\xi) = \xi^{2011}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 06, 2020 9:19 am**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 3:14 am
Δίδεται συνεχής συνάρτηση $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε για κάθε και

$\displaystyle{f \left ( \frac{\alpha}{\beta} \right ) f \left ( \frac{\beta}{\gamma} \right ) f \left ( \frac{\gamma}{\alpha} \right ) = 1}$
όπου $0<\alpha< \beta<\gamma$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi>0$ τέτοιο ώστε $f(\xi) = \xi^{2011}$ .

Εξετάζουμε την $g(x)=f(x)x^{-2011}$ . Αν οι τιμές της σε κάποιο από τα $\dfrac{\alpha}{\beta}, \dfrac {\beta}{\gamma},\, \dfrac{\gamma}{\alpha} \right$ είναι

, τελειώσαμε (μας κάνει ως κατάλληλο $\xi$ ). Αλλιώς η

παίρνει σε αυτά τα κλάσματα κάποια τιμή μεγαλύτερη ή μικρότερη του

. Θα αποδείξουμε ότι παίρνει και τα δύο, δηλαδή και μεγαλύτερη και μικρότερη, οπότε από Bolzano καθαρίζουμε.

Έχουμε από την υπόθεση $\displaystyle{ g \left ( \frac{\alpha}{\beta} \right ) g \left ( \frac{\beta}{\gamma} \right ) g \left ( \frac{\gamma}{\alpha} \right )=1\cdot 1^{-2011}=1}$ . Άρα αν κάποιος από τους αριθμούς $\displaystyle{ g \left ( \frac{\alpha}{\beta} \right ),\, g \left ( \frac{\beta}{\gamma} \right ),\, g\left ( \frac{\gamma}{\alpha} \right )}$ είναι μεγαλύτερος από το

, τότε κάποιος άλλος θα είναι μικρότερος και αντίστροφα. Kαι λοιπά.

mathematica.gr

Ύπαρξη

Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη