Μονότονη;
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονότονη;
Χμμμμ.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Παρ Οκτ 30, 2020 4:50 pmΈστω με την ιδιότητα
Να δειχθεί ότι:
(α) .
(β) η είναι .
(γ) η είναι γνησίως αύξουσα.
Έχω ενδοιασμό για το (γ).
Η άσκηση είναι λάθος σε πολλά επίπεδα, εκτός αν δεν βλέπω κάτι. Πρώτα απ' όλα θέτοντας για κάθε , την ικανοποιεί χωρίς να ισχύει το β). Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η εκφώνηση θέτει ακόμη μη μηδενική συνάρτηση. Πάλι έχουμε πρόβλημα: Για , η υπόθεση γίνεται .
Αυτή είναι η συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy που έχει πολλές λύσεις οι οποίες δεν ικανοποιούν το β). Για παράδειγμα (αλλά εκτός ύλης γιατί χρησιμοποιεί το αξίωμα της επιλογής) υπάρχουν μη μηδενικές τέτοιες που μηδενίζονται στους ρητούς.
Ούτε η συνέχεια της σώζει το γ). Π.χ. η είναι αντιπαράδειγμα.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Μονότονη;
Πώς να μην έχει; Αφού ξέχασα την υπόθεση ότι η έχει μοναδική ρίζα!!
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονότονη;
Τώρα σώζονται τα α) και β) αλλά όχι το γ).
α) Άμεσο θέτοντας .
β) Αν τότε από την υπόθεση . Από την υπόθεση περί μοναδικότητας, και με χρήση του α), είναι . Και λοιπά.
γ) Αντιπαράδειγμα η .
α) Άμεσο θέτοντας .
β) Αν τότε από την υπόθεση . Από την υπόθεση περί μοναδικότητας, και με χρήση του α), είναι . Και λοιπά.
γ) Αντιπαράδειγμα η .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Μονότονη;
Μιχάλη ,αν ζητήσουμε να είναι γνησίως μονότονη, πάλι νομίζω ότι δεν μπορούμε να το αποδείξουμε. Θυμάμαι μερικές προϋποθέσειςMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Οκτ 30, 2020 5:58 pmΤώρα σώζονται τα α) και β) αλλά όχι το γ).
.........................
γ) Αντιπαράδειγμα η .
που η Cauchy οδηγεί στην , αλλά το δεν το θυμάμαι.
Ίσως να κάνω λάθος όμως.
Θα μας πει ο Τόλης, αν το έχει λυμένο.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μονότονη;
Η πιο ασθενής συνθήκη για να οδηγεί η Cauchy σε συνεχή είναιΜπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Παρ Οκτ 30, 2020 7:07 pmΜιχάλη ,αν ζητήσουμε να είναι γνησίως μονότονη, πάλι νομίζω ότι δεν μπορούμε να το αποδείξουμε. Θυμάμαι μερικές προϋποθέσειςMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Οκτ 30, 2020 5:58 pmΤώρα σώζονται τα α) και β) αλλά όχι το γ).
.........................
γ) Αντιπαράδειγμα η .
που η Cauchy οδηγεί στην , αλλά το δεν το θυμάμαι.
Ίσως να κάνω λάθος όμως.
Θα μας πει ο Τόλης, αν το έχει λυμένο.
η συνάρτηση να είναι μετρήσιμη.
Θυμάμαι ότι το είχα βάλει και έδωσε λύση ο Βαγγέλης Μουρούκος.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Μονότονη;
Μπάμπη, το βγαίνει , με την επιπλέον υπόθεση ότι η έχει μοναδική ρίζα. Ο ενδοιασμός μου ήταν στη μονοτονία αν αποδεικνύεται όπως είναι. Τελικά, δεν. Ευχαριστώ Μιχάλη.Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Παρ Οκτ 30, 2020 7:07 pmΊσως να κάνω λάθος όμως.
Θα μας πει ο Τόλης, αν το έχει λυμένο.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονότονη;
.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Παρ Οκτ 30, 2020 9:27 pmΟ ενδοιασμός μου ήταν στη μονοτονία αν αποδεικνύεται όπως είναι. Τελικά, δεν. Ευχαριστώ Μιχάλη.
Τόλη, προσοχή, η εκφώνηση της άσκησης ζητά αν η είναι αύξουσα. Σε αυτό απάντησα με την . Στο ερώτημα αν είναι μονότονη δεν γνωρίζω την απάντηση (δεν το σκέφτηκα). Για συνεχείς συναρτήσεις, πάντως, η απάντηση είναι "ναι", αφού είναι της μορφής για κάποιο .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Μονότονη;
Τόλη, αυτό που επισημαίνω είναι ότι δεν γνωρίζω αν το 1-1 που αποδείχθηκε αρκεί για το γνήσιο μονότονο.Για το γνήσια αύξουσα απάντησε ο Μιχάλης αρνητικά.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Παρ Οκτ 30, 2020 9:27 pmΜπάμπη, το βγαίνει , με την επιπλέον υπόθεση ότι η έχει μοναδική ρίζα. Ο ενδοιασμός μου ήταν στη μονοτονία αν αποδεικνύεται όπως είναι. Τελικά, δεν. Ευχαριστώ Μιχάλη.Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Παρ Οκτ 30, 2020 7:07 pmΊσως να κάνω λάθος όμως.
Θα μας πει ο Τόλης, αν το έχει λυμένο.
Καλό ΣΚ
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μονότονη;
Καμία σχέση για αυτές τις συναρτήσεις το με το μονότονη εκτός αν πάρουμε συνεχή.Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 31, 2020 3:32 pmΤόλη, αυτό που επισημαίνω είναι ότι δεν γνωρίζω αν το 1-1 που αποδείχθηκε αρκεί για το γνήσιο μονότονο.Για το γνήσια αύξουσα απάντησε ο Μιχάλης αρνητικά.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Παρ Οκτ 30, 2020 9:27 pmΜπάμπη, το βγαίνει , με την επιπλέον υπόθεση ότι η έχει μοναδική ρίζα. Ο ενδοιασμός μου ήταν στη μονοτονία αν αποδεικνύεται όπως είναι. Τελικά, δεν. Ευχαριστώ Μιχάλη.Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Παρ Οκτ 30, 2020 7:07 pmΊσως να κάνω λάθος όμως.
Θα μας πει ο Τόλης, αν το έχει λυμένο.
Καλό ΣΚ
Δικαιολόγηση το βραδάκι.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μονότονη;
Για Hamel βάσεις υπάρχει αυτό
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=10&t=842
Μια Hamel βάση του ως προς το
είναι ένα σύνολο πραγματικών
με τις ιδιότητες
1)Αν πάρουμε πεπερασμένα
και ρητούς
από την σχέση
προκύπτει ότι
2)Για κάθε πραγματικό υπάρχουν
και ρητοί
ώστε να ισχύει
Να σημειώσω ότι η ύπαρξη Hamel βάσης βασίζεται στο αξίωμα επιλογής.
Εστω μια
με την ιδιότητα (*)
Εύκολα με χρήση επαγωγής μπορεί να αποδειχθεί ότι για
είναι
Αν έχουμε μια Hamel βάση που έχει σαν ρητό στοιχείο της το τότε
η είναι ορισμένη αν γνωρίζουμε τα
Αν πάρουμε λοιπόν μια συνάρτηση
και θέσουμε
τότε η είναι
Για να γίνει πιο καθαρό για στους πραγματικούς βρίσκουμε στοιχεία της βάσης ώστε
.
Τότε είναι
Είναι τετριμένο να επιλέξουμε την έτσι ώστε η να είναι μονότονη.
Να σημειώσω και το εξής.
Αν μια συνάρτηση είναι μονότονη τότε είναι και μετρήσιμη.
Και κάθε μετρήσιμη που ικανοποιεί την (*) αποδεικνύεται ότι είναι συνεχής.
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=10&t=842
Μια Hamel βάση του ως προς το
είναι ένα σύνολο πραγματικών
με τις ιδιότητες
1)Αν πάρουμε πεπερασμένα
και ρητούς
από την σχέση
προκύπτει ότι
2)Για κάθε πραγματικό υπάρχουν
και ρητοί
ώστε να ισχύει
Να σημειώσω ότι η ύπαρξη Hamel βάσης βασίζεται στο αξίωμα επιλογής.
Εστω μια
με την ιδιότητα (*)
Εύκολα με χρήση επαγωγής μπορεί να αποδειχθεί ότι για
είναι
Αν έχουμε μια Hamel βάση που έχει σαν ρητό στοιχείο της το τότε
η είναι ορισμένη αν γνωρίζουμε τα
Αν πάρουμε λοιπόν μια συνάρτηση
και θέσουμε
τότε η είναι
Για να γίνει πιο καθαρό για στους πραγματικούς βρίσκουμε στοιχεία της βάσης ώστε
.
Τότε είναι
Είναι τετριμένο να επιλέξουμε την έτσι ώστε η να είναι μονότονη.
Να σημειώσω και το εξής.
Αν μια συνάρτηση είναι μονότονη τότε είναι και μετρήσιμη.
Και κάθε μετρήσιμη που ικανοποιεί την (*) αποδεικνύεται ότι είναι συνεχής.
Re: Μονότονη;
Αν δοθεί οτι η είναι μονότονη ποιός είναι ο τυπος της?
νομίζω οτι αυτό ειναι πιο ενδιαφέρον (σωστό) ερώτημα.
Επισης αν δοθει f γν.αύξουσα και αναλογα οταν
νομίζω οτι αυτό ειναι πιο ενδιαφέρον (σωστό) ερώτημα.
Επισης αν δοθει f γν.αύξουσα και αναλογα οταν
Re: Μονότονη;
Aφού θετω με τότε ή και όμοια αν Δεδομένου ότι η μοναδική ρίζα της (για τον λόγο αυτό δεν ισχύουν τα = στις προηγούμενες ανισότητες) συμπεραίνουμε ότι γν.αύξουσα στο
Εχουμε τότε Ετσι για καθε ρητο ισχυει και για παίρνουμε
αφού γν.αύξουσα θα εχουμε αρα
Υποθετουμε οτι πχ
ομως μεταξύ 2 πραγματικών υπαρχει ρητος οποτε συνεπώς και αφου θα έπρεπε ατοπο άρα
Εχουμε τότε Ετσι για καθε ρητο ισχυει και για παίρνουμε
αφού γν.αύξουσα θα εχουμε αρα
Υποθετουμε οτι πχ
ομως μεταξύ 2 πραγματικών υπαρχει ρητος οποτε συνεπώς και αφου θα έπρεπε ατοπο άρα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες