Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Οκτ 27, 2020 1:03 pm

Παρακάτω επισυνάπτω το διαγώνισμα που θα βάλω στην Γ' λυκείου με ύλη στο 1ο κεφάλαιο.

Θα δώσω αναλυτικά λύσεις μέσα στις επόμενες δύο εβδομάδες και όχι κατευθείαν για να ασχοληθούν όσα παιδιά θέλουν να ασχοληθούν.

Υ.Γ.1. Ιδέες στο ΘΕΜΑ Δ έχουν παρθεί από την συλλογή του Ρ. Μπόρη (RBORIS), καθώς και στο ΘΕΜΑ Γ από διαγώνισμα του Ν. Μαυρογιάννη (nsmavrogiannis), τους οποίους και ευχαριστώ θερμά!

Φιλικά,
Μάριος

Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια.pdf
(120.81 KiB) Μεταφορτώθηκε 226 φορές
Υ.Γ.2. Προστέθηκε η συνέχεια της g στο θέμα Γ.
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Τρί Οκτ 27, 2020 4:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4518
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Οκτ 27, 2020 2:24 pm

Θέμα Γ


(α) Είναι f \left( \lambda - 1 \right)=0 οπότε

\displaystyle{\begin{aligned} 
f \left ( \lambda -1 \right ) =0  &\Leftrightarrow \frac{e^{\lambda \left ( \lambda -1 \right )} - 1}{e^{\lambda \left ( \lambda -1  \right )} + 1} =0  \\  
 &\Leftrightarrow e^{\lambda \left ( \lambda -1 \right )} - 1 = 0  \\  
 &\Leftrightarrow e^{\lambda \left ( \lambda -1 \right )} = 1 \\  
 &\Leftrightarrow \lambda \left ( \lambda -1 \right ) = 0 \\ 
 &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
\lambda & = & 0 \\  
\lambda & = & 1 
\end{matrix}\right. 
\end{aligned}}
Για \lambda=0 παίρνουμε f(x) = 0 το οποίο αντίκειται στο ότι η συνάρτηση f είναι μη σταθερή. Τελικά \lambda=1.


(β) Η f γράφεται ισοδύναμα

\displaystyle{f(x) = \frac{e^x-1}{e^x+1} = \frac{e^x+1 - 2}{e^x+1} = 1 - \frac{2}{e^x+1}}
Έστω x_1, x_2 \in \mathbb{R} με x_1<x_2. Τότε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
x_1<x_2 & \Rightarrow e^{x_1} < e^{x_2} \\  
 &\Rightarrow e^{x_1} + 1 < e^{x_2} + 1 \\  
 &\Rightarrow \frac{1}{e^{x_1} + 1} > \frac{1}{e^{x_2} + 1} \\  
 &\Rightarrow \frac{2}{e^{x_1} + 1} > \frac{2}{e^{x_2} + 1}   
 &\Rightarrow - \frac{2}{e^{x_1} + 1} < - \frac{2}{e^{x_2} + 1} \\ 
 &\Rightarrow 1 - \frac{2}{e^{x_1} + 1} < 1 - \frac{2}{e^{x_2} + 1} \\ 
 &\Rightarrow f(x_1) < f(x_2) 
\end{aligned}}
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα και κατά συνέπεια 1-1. Έστω y=f(x). Τότε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
y= f(x) &\Rightarrow y = \frac{e^x-1}{e^x+1} \\  
 &\Rightarrow y \left ( e^x  +1 \right ) = e^x-1 \\  
 &\Rightarrow ye^x + y = e^x -1 \\  
 &\Rightarrow y e^x - e^x = -y - 1 \\  
 &\Rightarrow e^x \left ( y - 1 \right ) = - y - 1 \\ 
 &\Rightarrow e^x = -\frac{1+y}{y-1} \\ 
 &\Rightarrow e^x = \frac{1+y}{1-y} 
\end{aligned}}
Όμως e^x>0 άρα \displaystyle{\frac{1+y}{1-y} >0 \Leftrightarrow \left ( 1 +y \right ) \left ( 1-y \right ) >0 \Leftrightarrow y \in (-1, 1)}. Συνεπώς \mathcal{A}_{f^{-1}} = (-1, 1) και


\displaystyle{f^{-1}(x) = \ln \left ( \frac{1+x}{1-x} \right ) \; , \; x\in (-1, 1)}
(γ) Εφόσον \lim \limits_{x \rightarrow -\infty} g(x) = +\infty υπάρχει \alpha<0 τέτοιο ώστε g(\alpha)>0 ενώ \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} g(x) = -\infty υπάρχει \beta>0 τέτοιο ώστε g(\beta)<0. Άρα για \alpha<\beta είναι g(\alpha)>g(\beta) και εφόσον η g είναι γνησίως μονότονη έπεται ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα.


(δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) = f(x) - g(x) η οποία είναι γνησίως αύξουσα. Το αποτέλεσμα έπεται από Bolzano σε συνδυασμό με το ερώτημα (γ).


Υ.Σ: Τώρα που το ξανά βλέπω δε θα 'πρεπε να δίδεται η g συνεχής;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Οκτ 27, 2020 4:08 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Οκτ 27, 2020 2:24 pm
Υ.Σ: Τώρα που το ξανά βλέπω δε θα 'πρεπε να δίδεται η g συνεχής;
Σωστό. Το συμπληρώνω. Ευχαριστώ για τη λύση Τόλη.

Ένας τρόπος για το ερώτημα (δ) στο ΘΕΜΑ Γ είναι αυτός που αναφέρει περιγραφικά ο Τόλης πιο πάνω. Ας δώσω μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση που χρησιμοποιεί το σύνολο τιμών της f από το ερώτημα (β).

Έχουμε ότι για κάθε x πραγματικό είναι -1<f(x)<1. Αφού η g έχει σύνολο τιμών το \mathbb{R} θα υπάρχουν x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ώστε g\left ( x_{1} \right )=1 και g\left ( x_{2} \right )=-1. Άρα για την συνεχή συνάρτηση h=f-g ισχύει h\left ( x_{1} \right )h\left ( x_{2} \right )<0 και άρα από Bolzano έχουμε την ύπραξη της ρίζας. Τώρα η μοναδικότητα έρχεται από τη μονοτονία όπως γράφει ο Τόλης παραπάνω.
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Τρί Οκτ 27, 2020 4:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4518
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Οκτ 27, 2020 4:15 pm

Βεβαια ισχύει η πρόταση 1-1 + γνησίως μονότονη = συνεχής αλλα νομίζω θελει απόδειξη . Εκτός αν άλλαξε κάτι ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Οκτ 27, 2020 4:20 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Οκτ 27, 2020 4:15 pm
Βεβαια ισχύει η πρόταση 1-1 + γνησίως μονότονη = συνεχής αλλα νομίζω θελει απόδειξη . Εκτός αν άλλαξε κάτι ;
Όχι Τόλη δεν ήθελα κάτι τέτοιο.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4518
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Οκτ 27, 2020 5:27 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Οκτ 27, 2020 4:15 pm
Βεβαια ισχύει η πρόταση 1-1 + γνησίως μονότονη = συνεχής αλλα νομίζω θελει απόδειξη . Εκτός αν άλλαξε κάτι ;

Λάθος, το πα. Συνεχής και 1-1 = γνησίως μονότονη. :(


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ILIOPOULOS PANAGIOTIS
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 27, 2020 9:00 pm

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ILIOPOULOS PANAGIOTIS » Τετ Οκτ 28, 2020 5:28 am

Το ερώτημα Β3 iii μήπως μπορεί κάποιος να μου υποδείξει πώς λύνεται; Καταλαβαίνω ότι πρέπει να λύσω την εξίσωση h(x)=2\sqrt[8]{3},

αλλά δεν μπορώ να καταλήξω σε αποτέλεσμα.


Παναγιώτης Ηλιόπουλος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4518
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Οκτ 28, 2020 8:10 am

Χμμ... μάλλον κάποιο πρόβλημα υπάρχει και εδώ. Ας μας πει ο Μάριος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Οκτ 28, 2020 12:54 pm

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 5:28 am
Το ερώτημα Β3 iii μήπως μπορεί κάποιος να μου υποδείξει πώς λύνεται; Καταλαβαίνω ότι πρέπει να λύσω την εξίσωση h(x)=2\sqrt[8]{3},

αλλά δεν μπορώ να καταλήξω σε αποτέλεσμα.
Γεια σου Παναγιώτη. Θα δώσω υπόδειξη. Αρχικά αξιοποίησε τα ερωτήματα παραπάνω υπάρχει λόγος που ζητούνται. Δεύτερον, λύνεται η εξίσωση αλγεβρικά αν όχι είσαι Γ' λυκείου πώς θα το έλυνες. Κάνε μαντεψιά. Ό,τι θες ρωτάς.
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 8:10 am
Χμμ... μάλλον κάποιο πρόβλημα υπάρχει και εδώ. Ας μας πει ο Μάριος.
Δεν υπάρχει πρόβλημα Τόλη.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10176
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 28, 2020 1:28 pm

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 5:28 am
Το ερώτημα Β3 iii μήπως μπορεί κάποιος να μου υποδείξει πώς λύνεται; Καταλαβαίνω ότι πρέπει να λύσω την εξίσωση h(x)=2\sqrt[8]{3},

αλλά δεν μπορώ να καταλήξω σε αποτέλεσμα.
\displaystyle x =  \pm \sqrt[8]{3} και λόγω μονοτονίας δεν έχει άλλη ρίζα (η μαντεψιά που γράφει ο Μάριος).


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Νοέμ 03, 2020 4:27 pm

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 5:28 am
Το ερώτημα Β3 iii μήπως μπορεί κάποιος να μου υποδείξει πώς λύνεται; Καταλαβαίνω ότι πρέπει να λύσω την εξίσωση h(x)=2\sqrt[8]{3},

αλλά δεν μπορώ να καταλήξω σε αποτέλεσμα.
Παναγιώτη υπήρξε κάποια πρόοδος με το ερώτημα;


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
ILIOPOULOS PANAGIOTIS
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 27, 2020 9:00 pm

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ILIOPOULOS PANAGIOTIS » Τρί Νοέμ 03, 2020 6:04 pm

Ναι κύριε Βόβο, το έλυσα. Οι λύσεις είναι οι +-\sqrt[8]{3} μοναδικές γιατί η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στα επιμέρους διαστήματα.
Απλώς, μετά την υπόδειξή σας θεώρησα περιττό να βάλω λύση.


Παναγιώτης Ηλιόπουλος
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Δευ Νοέμ 09, 2020 3:28 pm

ΘΕΜΑ Α

Α1) Θεωρία

Α2) Θεωρία

Α3) α) Ψ β) π.χ. \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} 
x, &x\leqslant 0 \\\\  
\displaystyle \frac{1}{x}, &x>0  
\end{matrix}\right.

Α4) Λ, Λ, Λ, Σ, Σ


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Διαγώνισμα 1ο κεφάλαιο

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Δευ Νοέμ 09, 2020 4:06 pm

ΘΕΜΑ Β

(Β1) Πρέπει x\neq 0 και \displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{x^{4}}\neq 0\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}+x-1\neq 0\Leftrightarrow \left (x^{2}+1  \right )\left ( x-1 \right )\neq 0 \Leftrightarrow x\neq 1.

Επομένως, D_{f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0,1 \right \} και D_{g}=\mathbb{R}. Άρα, οι f,g δεν είναι ίσες. Για κάθε x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 0,1 \right \} έχουμε ότι:

\displaystyle{f(x)=\frac{x^{4}-x^{3}+x^{2}-x}{\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{x^{4}}}=\frac{x^{5}\left ( x^{4}-x^{3}+x^{2}-x \right )}{\displaystyle x^{5}\left (\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{x^{4}}  \right )}=\frac{x^{5}\left ( x^{4}-x^{3}+x^{2}-x \right )}{x^{4}-x^{3}+x^{2}-x}=x^{5}=g(x)}

Άρα, στο εν λόγω διάστημα οι δύο συναρτήσεις είναι ίσες και μάλιστα το συγκεκριμένο διάστημα είναι και το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του \mathbb{R}, που αυτές είναι ίσες.


(Β2) Έχουμε ότι: \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
x\in D_{g}=\mathbb{R}\\  
g(x)\in D_{f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0,1 \right \} 
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^{5}\neq 0,1\Leftrightarrow x\neq 0,1} Άρα D_{f\circ g}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0,1 \right \}.

Επιπλέον: \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
x\in D_{f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0,1 \right \}\\  
f(x)\in D_{g}=\mathbb{R} 
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\neq 0,1} και άρα D_{g\circ f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0,1 \right \}.

Επίσης, \displaystyle{\left ( f\circ g \right )(x)=f\left ( g(x) \right )=\left (x^{5}  \right )^{5}=x^{10}=\left ( g\circ f \right )(x)}.

Άρα, οι δύο συναρτήσεις έχουν ίδια πεδία ορισμού και ίδιο τύπο άρα είναι ίσες.


(Β3) i. Έστω M\left ( x,f(x) \right ), x\in \mathbb{R}. Η απόσταση του M από την αρχή των αξόνων δίνεται από τη σχέση:

\displaystyle{d\left ( M,O \right )=\sqrt{x^{2}+g^{2}(x)}=\sqrt{x^{2}+x^{10}}=\left | x \right |\sqrt{x^{8}+1}=h(x)}

ii. Για κάθε x\in \mathbb{R} έχουμε ότι \displaystyle{h(-x)=\left | -x \right |\sqrt{\left ( -x \right )^{8}+1}=\left | x \right |\sqrt{x^{8}+1}=h(x)}, άρα h άρτια.

Για κάθε x_{1},x_{2}\leqslant 0 με x_{1}<x_{2}. Τότε x_{1}^{10}>x_{2}^{10} και x_{1}^{2}>x_{2}^{2}. Άρα,

\displaystyle{x_{1}^{2}+x_{1}^{10}>x_{2}^{2}+x_{2}^{10}\Leftrightarrow \sqrt{x_{1}^{2}+x_{1}^{10}}>\sqrt{x_{2}^{2}+x_{2}^{10}}\Leftrightarrow h\left ( x_{1} \right )>h\left ( x_{2} \right )}. Άρα, h γνησίως φθίνουσα στο \left ( -\infty ,0 \right ].

Όμοια, για x_{1},x_{2}\geqslant  0 με x_{1}<x_{2} είναι h\left ( x_{1} \right )<h\left ( x_{2} \right ). Άρα, h γνησίως αύξουσα στο \left [ 0,+\infty  \right ).

iii. Για x\geqslant 0 από το προηγούμενο ερώτημα η h είναι άυξουσα άρα και 1-1. \displaystyle h\left ( x \right )=2\sqrt[8]{3}=h\left ( \sqrt[8]{3} \right )\Leftrightarrow x=\sqrt[8]{3}.

Για x<0 από το προηγούμενο ερώτημα η h είναι φθίνουσα άρα και 1-1. \displaystyle h\left ( x \right )=2\sqrt[8]{3}=h\left (- \sqrt[8]{3} \right )\Leftrightarrow x=-\sqrt[8]{3}

Επομένως, το ζητούμενο σημείο είναι το \displaystyle M\left ( \sqrt[8]{3},\sqrt[8]{3^{5}} \right ) ή το \displaystyle M\left ( -\sqrt[8]{3},-\sqrt[8]{3^{5}} \right ).

Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ. Μένει η λύση στο ΘΕΜΑ Δ. Θα αφήσω μερικές μέρες ακόμα μήπως κάποιος μαθητής ή συνάδελφος θέλει να μοιραστεί τη λύση του.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες