Όριο

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\kappa \in \mathbb{N}^*$ . Να υπολογιστεί το όριο

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x + x^2 + \cdots + x^\kappa - \kappa}{x-1}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 25, 2020 2:45 pm
Έστω $\kappa \in \mathbb{N}^*$ . Να υπολογιστεί το όριο

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x + x^2 + \cdots + x^\kappa - \kappa}{x-1}}$

α) Με ένα βήμα l' Hospital αναγώμαστε στο όριο $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1} (1 +2x +3x^2 + \cdots +kx^{k-1})= 1+2+3+...+k= \frac {1}{2}k(k+1)$

β) Αλλιώς το όριο γράφεται

$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 1} \left (\frac{x-1}{x-1} + \frac{x^2-1}{x-1}} + ...+\frac{x^k-1}{x-1}} \right )$ . O κάθε προσθετέος είναι της μορφής

$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 1} \left \frac{f(x) -f(1)}{x-1} = f'(1)$ , που δίνει το ίδιο άθροισμα με πριν.

#3

Όπως το β) του Μιχάλη (αποφεύγοντας όμως λόγω φακέλου την παράγωγο).

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^k} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^{k - 1}}} \right) = k.$ Έτσι το ζητούμενο όριο γράφεται:

$\displaystyle 1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}$

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση