1-1 συνάρτηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

1-1 συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Οκτ 19, 2020 11:55 am

Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} με f(x) = x - \sin x.

(α) Να δειχθεί ότι f είναι 1-1.

(β) Να λυθεί η εξίσωση f^{-1}(x) = f(x).


Δεν έχω λύση!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1329
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: 1-1 συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Οκτ 19, 2020 1:09 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 11:55 am
Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} με f(x) = x - \sin x.

(α) Να δειχθεί ότι f είναι 1-1.

(β) Να λυθεί η εξίσωση f^{-1}(x) = f(x).


Δεν έχω λύση!
Έστω x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}, έχουμε

f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}-\sin x_{1} = x_{2} -\sin x_{2} \Rightarrow x_{1}-x_{2} = \sin x_{1}-\sin x_{2} \Rightarrow

2 \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} = 2\sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \cdot \sin \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}  \Rightarrow

Από την μία

\left |  \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \right | = \left | \sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \cdot \cos \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} \right| \geq  \left | \sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2}  
 \right | , (|t| \geq |\sin t| για κάθε t πραγματικό)

και από την άλλη

\displaystyle{\left |  \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \right | = \left | \sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \cdot \cos \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} \right| \leq \left | \sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \right |}, | \cos t | \leq 1 για κάθε t πραγματικό.

Οπότε \displaystyle{\left |  \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \right | = \left | \sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \right |}

'Ομως |t| \geq |\sin t| για κάθε t πραγματικό, με την ισότητα μόνο αν t=0. 'Αρα θα έχουμε  \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} = 0 \Rightarrow x_{1}=x_{2}.

Οπότε η συνάρτηση είναι 1-1.

Για το δεύτερο ερώτημα ειναι τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η συνάρτηση \sin x.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Δευ Οκτ 19, 2020 10:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: 1-1 συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Οκτ 19, 2020 1:14 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 1:09 pm

Για το δεύτερο ερώτημα ειναι τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η συνάρτηση \sin x.
Γιατί; Δε το βλέπω;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 386
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 1-1 συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Οκτ 19, 2020 1:21 pm

Μια άλλη ιδέα για να δείξεις ότι η f είναι 1-1 είναι να πεις ότι η f είναι αύξουσα επειδή η παράγωγος είναι μη αρνητική.
Αν υπήρχαν διαφορετικά σημεία με ίδια εικόνα τότε στο διάστημα που ορίζουν αυτά τα δύο σημεία έχουμε ότι η f είναι σταθερή η υπάρχει διάστημα που η f είναι γνησίως φθίνουσα(όλα αυτά λόγω συνέχειας) που και τα δύο φέρνουν άτοπο.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 729
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: 1-1 συνάρτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Οκτ 19, 2020 1:58 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 1:14 pm

Γιατί; Δε το βλέπω;
Eιναι ισοδύναμη με την f(x)=x αφού η f είναι γνησίως αύξουσα.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: 1-1 συνάρτηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Οκτ 19, 2020 2:04 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 1:58 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 1:14 pm

Γιατί; Δε το βλέπω;
Eιναι ισοδύναμη με την f(x)=x αφού η f είναι γνησίως αύξουσα.

Είναι γνησίως αύξουσα , αλλά δεν αποδείχθηκε κάτι. Το πρώτο ερώτημα έδειξε μόνο ότι η f είναι 1-1. Δε μας είπε κάτι για τη μονοτονία. Αν πάμε με παραγώγους καλή ώρα όπως εδώ
stranger έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 1:21 pm
Μια άλλη ιδέα για να δείξεις ότι η f είναι 1-1 είναι να πεις ότι η f είναι αύξουσα επειδή η παράγωγος είναι μη αρνητική.
Αν υπήρχαν διαφορετικά σημεία με ίδια εικόνα τότε στο διάστημα που ορίζουν αυτά τα δύο σημεία έχουμε ότι η f είναι σταθερή η υπάρχει διάστημα που η f είναι γνησίως φθίνουσα(όλα αυτά λόγω συνέχειας) που και τα δύο φέρνουν άτοπο.
ΟΚ. Αλλά το θέμα τέθηκε στο φάκελο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 729
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: 1-1 συνάρτηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Οκτ 19, 2020 2:20 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 2:04 pm
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 1:58 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 1:14 pm

Γιατί; Δε το βλέπω;
Eιναι ισοδύναμη με την f(x)=x αφού η f είναι γνησίως αύξουσα.

Είναι γνησίως αύξουσα , αλλά δεν αποδείχθηκε κάτι. Το πρώτο ερώτημα έδειξε μόνο ότι η f είναι 1-1. Δε μας είπε κάτι για τη μονοτονία. Αν πάμε με παραγώγους καλή ώρα όπως εδώ
stranger έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 1:21 pm
Μια άλλη ιδέα για να δείξεις ότι η f είναι 1-1 είναι να πεις ότι η f είναι αύξουσα επειδή η παράγωγος είναι μη αρνητική.
Αν υπήρχαν διαφορετικά σημεία με ίδια εικόνα τότε στο διάστημα που ορίζουν αυτά τα δύο σημεία έχουμε ότι η f είναι σταθερή η υπάρχει διάστημα που η f είναι γνησίως φθίνουσα(όλα αυτά λόγω συνέχειας) που και τα δύο φέρνουν άτοπο.
ΟΚ. Αλλά το θέμα τέθηκε στο φάκελο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια.
Δεν μίλησα πουθενά για παραγωγό. Η απόδειξη ότι είναι γνησίως αύξουσα γίνεται και αλγεβρικά όπως το 1-1. Γράψε f(x_1)-f(x_2) και προχωρά όπως στο 1-1.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1329
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: 1-1 συνάρτηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Οκτ 19, 2020 4:44 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 1:14 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 1:09 pm

Για το δεύτερο ερώτημα ειναι τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η συνάρτηση \sin x.
Γιατί; Δε το βλέπω;
Οι γραφικές παραστάσεις των f^{-1}(x), f(x) είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x. Σε κάθε ενα από τα διαστήματα της μορφής (k\pi, (k+1)\pi), k \in \mathbb{Z} οι γραφικές παραστάσεις των f^{-1}, f είναι εκατέρωθεν της y=x. Πράγματι

f(x) > x \Leftrightarrow x-sin x > x \Leftrightarrow \sin x < 0 \leftrigharrow \quad x \in \cup (2k\pi, (2k+1)\pi)

και αντίστοιχα για f(x) <0 \Leftrightarrow \quad  x \in \cup ( (2k-1)\pi, 2k\pi)

Ας δούμε τι γίνεται σε μια λωρίδα μεταξύ των ευθειών y=-x και y=2\pi-x που αντιστοιχεί στο διάστημα (0,\pi). Στα υπόλοιπα διαστήματα ακολουθούμε την ίδια λογική.

Είναι f(x) > -x \Leftrightarrow x-\sin x > -x \Leftrightarrow 2x > \sin x \Leftrightarrow x +(x-\sin x) > 0, που ισχύει αφού x \in (0,\pi).

f(x) < 2\pi-x \Leftrightarrow x-\sin x < 2\pi-x \Leftrightarrow 2(x-\pi) < \sin x , που ισχύει αφού x \in (0,\pi)

Οπότε τα πιθανά σημεία τομής είναι πάνω στην y=x. Δηλαδή x-\sin x =x \Leftrightarrow -\sin x =0 \Leftrightarrow x=k\pi. Τα οποία και επαληθεύουν την δοθείσα εξίσωση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες