Περιοδική και ύπαρξη
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Περιοδική και ύπαρξη
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και τέτοια ώστε
Να δειχθεί ότι:
(α) η είναι περιοδική.
(β) υπάρχουν άπειροι τέτοιοι ώστε .
Να δειχθεί ότι:
(α) η είναι περιοδική.
(β) υπάρχουν άπειροι τέτοιοι ώστε .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Περιοδική και ύπαρξη
Η άσκηση είναι πολύ απλή.
Για το (α) έχουμε . Άρα η είναι περιοδική.
Από υπόθεση έχουμε αν και μόνο αν .
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχουν άπειρα ώστε .
Για να το δείξουμε αυτό αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ώστε αφού η είναι περιοδική.
Εδώ χρησιμοποιούμε τη συνέχεια. Αν η δεν καμία ρίζα τότε για κάθε η για κάθε το οποίο είναι άτοπο αφού τα και είναι ετερόσημα και το συμπέρασμα έπεται.
Για το (α) έχουμε . Άρα η είναι περιοδική.
Από υπόθεση έχουμε αν και μόνο αν .
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχουν άπειρα ώστε .
Για να το δείξουμε αυτό αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ώστε αφού η είναι περιοδική.
Εδώ χρησιμοποιούμε τη συνέχεια. Αν η δεν καμία ρίζα τότε για κάθε η για κάθε το οποίο είναι άτοπο αφού τα και είναι ετερόσημα και το συμπέρασμα έπεται.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
- Τοποθεσία: Καισαριανή
- Επικοινωνία:
Re: Περιοδική και ύπαρξη
Για το πρώτο έχουμε, για αυθαίρετο :
άρα η είναι περιοδική με μία περίοδο να είναι .
Τώρα, θεωρούμε την , . Η είναι συνεχής και ενώ:
άρα . Αν ισχύει το ίσο τότε η έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ενώ αν δεν ισχύει το ίσο τότε η έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (θ. Bolzano). Σε κάθε περίπτωση, η έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο . Από την περιοδικότητα της έπεται το ζητούμενο.
edit: Γράφαμε παράλληλα με τον stranger, το αφήνω για τον κόπο.
άρα η είναι περιοδική με μία περίοδο να είναι .
Τώρα, θεωρούμε την , . Η είναι συνεχής και ενώ:
άρα . Αν ισχύει το ίσο τότε η έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ενώ αν δεν ισχύει το ίσο τότε η έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (θ. Bolzano). Σε κάθε περίπτωση, η έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο . Από την περιοδικότητα της έπεται το ζητούμενο.
edit: Γράφαμε παράλληλα με τον stranger, το αφήνω για τον κόπο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες