Πολυωνυμικά όρια

Al.Koutsouridis · #1

Δυο πολυώνυμα f(x)

και

έχουν ακέραιους συντελεστές και ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες

$\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)g(x)}{x^3} =2}$

$\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \dfrac{f(x)g(x)}{x^2} =-4 }$

Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει η f(2)

;

Θέμα 14 (από 30) των φετινών (2020) εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας, για την ομάδα τύπου Α (γενικής).

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 9:27 pm
Δυο πολυώνυμα και έχουν ακέραιους συντελεστές και ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες

$\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)g(x)}{x^3} =2}$

$\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \dfrac{f(x)g(x)}{x^2} =-4 }$

Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει η ;

Από την πρώτη συνθήκη συμπεραίνουμε ότι το

είναι τριτοβάθμιο, έστω f(x)g(x)=ax^3+bx^2+cx+d

. Επίσης συμπεραίνουμε ότι a=2

.

Από την δεύτερη έχουμε

$\displaystyle{\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \dfrac{2x^3+bx^2+cx+d}{x} = \lim_{x\to\ 0} \dfrac{f(x)g(x)}{x^2} \cdot x=-4\cdot 0=0}$ , άρα d=0

.

Πάλι από την ίδια $\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \dfrac{2x^3+bx^2+cx}{x^2} =-4}$ , άρα c=0

, οπότε και b=-4

Tελικά

, οπότε το f(x)

είναι κάποιο από τα $\pm 1,\, \pm2, \pm x,\, \pm 2x,\,\pm (x-2), \pm 2(x-2),\, \pm x^2, \pm 2x^2,\,...$ και λοιπά. Ελέγχουμε τώρα τα f(2)

, και εύκολα καταλήγουμε ότι η μεγαλύτερη τιμή του f(2)

είναι

.

Πολυωνυμικά όρια

Πολυωνυμικά όρια

Re: Πολυωνυμικά όρια

Μέλη σε σύνδεση