Πολυωνυμικά όρια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πολυωνυμικά όρια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Απρ 15, 2020 9:27 pm

Δυο πολυώνυμα f(x) και g(x) έχουν ακέραιους συντελεστές και ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες

\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)g(x)}{x^3} =2}

\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \dfrac{f(x)g(x)}{x^2} =-4 }

Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει η f(2) ;


Θέμα 14 (από 30) των φετινών (2020) εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας, για την ομάδα τύπου Α (γενικής).



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυωνυμικά όρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 16, 2020 12:48 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Απρ 15, 2020 9:27 pm
Δυο πολυώνυμα f(x) και g(x) έχουν ακέραιους συντελεστές και ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες

\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)g(x)}{x^3} =2}

\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \dfrac{f(x)g(x)}{x^2} =-4 }

Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει η f(2) ;
Από την πρώτη συνθήκη συμπεραίνουμε ότι το fg είναι τριτοβάθμιο, έστω f(x)g(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Επίσης συμπεραίνουμε ότι a=2.

Από την δεύτερη έχουμε

\displaystyle{\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \dfrac{2x^3+bx^2+cx+d}{x} = \lim_{x\to\ 0} \dfrac{f(x)g(x)}{x^2} \cdot x=-4\cdot 0=0}, άρα d=0.

Πάλι από την ίδια \displaystyle{  \lim_{x\to\ 0} \dfrac{2x^3+bx^2+cx}{x^2} =-4}, άρα c=0, οπότε και b=-4

Tελικά  f(x)g(x)=2x^3-4x^2=2x^2(x-2), οπότε το f(x) είναι κάποιο από τα \pm 1,\, \pm2, \pm x,\, \pm 2x,\,\pm (x-2), \pm 2(x-2),\,  \pm x^2, \pm 2x^2,\,... και λοιπά. Ελέγχουμε τώρα τα f(2), και εύκολα καταλήγουμε ότι η μεγαλύτερη τιμή του f(2) είναι 8.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης