Μια... Συναρτησιακή

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Panos35
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τετ Μάιος 08, 2019 3:15 pm

Μια... Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Panos35 » Σάβ Απρ 11, 2020 3:06 pm

Έστω f:R\rightarrow R μια μη σταθερή συνάρτηση με την ιδιότητα:
f(x+y)=af(x)+bf(y) , για κάθε x,y\in R
Να αποδείξετε ότι:
α) a=b=1, f(0)=0
β) άπειρα σημεία της γραφικής παράστασης της f είναι συνευθειακά



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12498
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια... Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 11, 2020 3:39 pm

Panos35 έγραψε:
Σάβ Απρ 11, 2020 3:06 pm
Έστω f:R\rightarrow R μια μη σταθερή συνάρτηση με την ιδιότητα:
f(x+y)=af(x)+bf(y) , για κάθε x,y\in R
Να αποδείξετε ότι:
α) a=b=1, f(0)=0
β) άπειρα σημεία της γραφικής παράστασης της f είναι συνευθειακά
Είναι af(x)+bf(y)=f(x+y)=f(y+x) = af(y)+bf(x), άρα (a-b)f(x)=(a-b)f(y). Επιλέγοντας x,y έτσι ώστε f(x)\ne f(y) (που υπάρχουν διότι η f είναι μη σταθερή), έπεται a=b.

Επίσης f(x)=f(x+0)=af(x)+af(0), άρα (1-a)f(x)= af(0) για κάθε x. Έπεται a=1 γιατί αλλιώς f(x) = af(0)/(1-a)=σταθερό. Η αρχική τώρα δίνει f(0)=f(0)+f(0), οπότε f(0)=0.

Τέλος f(2^n)=f(2^{n-1}+2^{n-1})= 2f(2^{n-1})=...=2^nf(1). Συνεπώς τα σημεία (2^n,f(2^n)) βρίσκονται στην ευθεία y=f(1)x, που απαντά στο δεύτερο ερώτημα.

Υπόψη ότι δείξαμε f(x+y)=f(x)+f(y), που είναι η καλομελετημένη συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12498
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια... Συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 11, 2020 6:33 pm

Πολλά λόγια έγραφα. Λίγο πιο σύντομα:

f(x)=f(x+0)=af(x)+bf(0), άρα a=1 γιατί αλλιώς f(x)= bf(0)/(1-a)=σταθερό. Όμοια b=1. Τέλος από την f(0)=f(0)+f(0), έχουμε f(0)=0. Και λοιπά.


panagiotis iliopoulos

Re: Μια... Συναρτησιακή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Κυρ Απρ 12, 2020 11:38 am

Θα ήθελα αν μου επιτρέπετε να επεκτείνω την εκφώνηση της άσκησης:

γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο x_{1}\epsilon \mathbb{R} να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής σε όλο το

\mathbb{R}.

δ) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x_{2}\epsilon \mathbb{R} να αποδειχθεί ότι είναι παραγωγίσιμη σε όλο το

\mathbb{R}.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12498
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια... Συναρτησιακή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 12, 2020 4:49 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Κυρ Απρ 12, 2020 11:38 am
Θα ήθελα αν μου επιτρέπετε να επεκτείνω την εκφώνηση της άσκησης:

γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο x_{1}\epsilon \mathbb{R} να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής σε όλο το

\mathbb{R}.

δ) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x_{2}\epsilon \mathbb{R} να αποδειχθεί ότι είναι παραγωγίσιμη σε όλο το

\mathbb{R}.
Έστω ότι είναι συνεχής στο a. Για να δείξουμε ότι είναι συνεχής στο b παρατηρούμε ότι αν \lim x=b τότε \lim (x-b+a)=a, άρα

\displaystyle{\lim _{x\to b}f(x)=\lim _{x\to b}(f(x-b+a) +f(b-a))= \lim _{x-b+a\to a}(f(x-b+a) +f(b-a))= f(a)+f(b-a)=f(b)}.

Με το ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για την παράγωγο αρχίζοντας από το πηλίκο διαφορών.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης