Σύνθετη εξίσωση

panagiotis iliopoulos · #1

Καλημέρα σε όλους. Να λυθεί η εξίσωση $e^{e^{x}}(x+1)+eln(e^{x}+ln(x+1))=e(x+1), x\geq 0$ .

#2

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 26, 2019 8:33 am
Καλημέρα σε όλους. Να λυθεί η εξίσωση $e^{e^{x}}(x+1)+eln(e^{x}+ln(x+1))=e(x+1), x\geq 0$ .

Προφανής λύση η x=0

. Δεν υπάρχει άλλη γιατί για x>0

έχουμε $e^{e^{x}}(x+1)> e^{e^{0}}(x+1)=e(x+1)$ και $e\ln(e^{x}+\ln(x+1))> e\ln(e^{0}+\ln(0+1)) =e\ln 1=0$

panagiotis iliopoulos · #3

Μία άλλη προσέγγιση είναι η εξής:Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=e^{x}+ln(x+1)-1$ οπότε η εξίσωση ανάγεται στην $f(f(x))=x\Rightarrow f(f(x))+f(x)=f(x)+x\Rightarrow g(f(x))=g(x) (1)$ ,

όπου g(x)=f(x)+x

, η οποία είναι γνησίως αύξουσα.

$(1)\Rightarrow f(x)=x(2)$ .

Βρίσκουμε ότι f κυρτή στο [0,+00)

και ότι η εξίσωση της εφαπτομένης στο A(0,f(0))

είναι η

. Άρα $f(x)\geq 2x\geq x\Rightarrow f(x)\geq x$ ,

με την ισότητα να ισχύει μόνο αν x=0

.

Άρα $(2)\Rightarrow x=0$ .

Σύνθετη εξίσωση

Σύνθετη εξίσωση

Re: Σύνθετη εξίσωση

Re: Σύνθετη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση