Απροσδιόριστη μορφή

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Απροσδιόριστη μορφή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 08, 2019 7:54 pm

Απροσδιόριστη  μορφή.png
Απροσδιόριστη μορφή.png (8.75 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές
Ευθεία εφάπτεται κύκλου διαμέτρου NS=d , στο άκρο της S . Σημείο P της ευθείας

απομακρύνεται συνεχώς από το S . Η PN τέμνει τον κύκλο στο T . Είναι φανερό ότι από

ένα σημείο και μετά , το TN συνεχώς μικραίνει , αντίθετα με το TP , το οποίο αυξάνει .

Υπολογίστε το όριο του γινομένου TN\cdot TP , καθώς το P πάει όλο και πιο μακρυά .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1842
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Απροσδιόριστη μορφή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Δεκ 08, 2019 8:24 pm

φανερό ότι ST ύψος ορθογωνίου τριγώνου
'
δύναμη σημείου : PT PN= PS^2\Rightarrow PT NT =PS^2-PT^2 \Rightarrow PT NT=ST^2=d^2-TN^2

\underset{TN\rightarrow 0}{lim}PT NT=\underset{TN\rightarrow 0}{lim}d^2-TN^2=d^2


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12331
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απροσδιόριστη μορφή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 08, 2019 9:35 pm

Λίγο πιο απλά,

TN \cdot TP= ST^2\to SN^2=d^2


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 687
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Απροσδιόριστη μορφή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Δεκ 09, 2019 1:20 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 08, 2019 7:54 pm
Απροσδιόριστη μορφή.pngΕυθεία εφάπτεται κύκλου διαμέτρου NS=d , στο άκρο της S . Σημείο P της ευθείας

απομακρύνεται συνεχώς από το S . Η PN τέμνει τον κύκλο στο T . Είναι φανερό ότι από

ένα σημείο και μετά , το TN συνεχώς μικραίνει , αντίθετα με το TP , το οποίο αυξάνει .

Υπολογίστε το όριο του γινομένου TN\cdot TP , καθώς το P πάει όλο και πιο μακρυά .
Θανάση ωραίο το σχήμα. Μας δείχνει και γεωμετρικά πως μπορούμε να βρούμε συνάρτηση 1-1 και επί από το

(0,1] στο [2,+\infty).

Αφήνω ως άσκηση τη γεωμετρική λύση αυτού του προβλήματος.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Απροσδιόριστη μορφή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 09, 2019 12:47 pm

Απροσδιόριστη  μορφή.png
Απροσδιόριστη μορφή.png (14.17 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές
Ο κύκλος είναι ο μοναδιαίος , άρα η εφαπτομένη είναι η y=-1 . Αν k \in (0,1] είναι η τετμημένη

του σημείου T , τότε εύκολα βρίσκουμε ότι η τετμημένη του P είναι : \dfrac{2(1+\sqrt{1-k^2})}{k} . Αλλά η συνάρτηση :

f(x)=\dfrac{2(1+\sqrt{1-x^2})}{x} , x \in (0,1] , είναι γνησίως φθίνουσα , με ελάχιστη τιμή το f(1)=2 ,

ενώ : \lim\limits_{x \to 0^+}f(x)=+\infty . Συνεπώς η εικόνα του (0,1] , είναι πράγματι το [2,+\infty ) και λόγω της μονοτονίας

η αντιστοίχιση είναι "1-1" .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4654
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Απροσδιόριστη μορφή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Δεκ 09, 2019 1:54 pm

Καλημέρα σε όλους. Δίνω και τη "τριγωνομετρική" ερμηνεία των παραπάνω προσεγγίσεων του Χρήστου και του Μιχάλη.


9-12-2019 Γεωμετρία.jpg
9-12-2019 Γεωμετρία.jpg (32.71 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Η γωνία STN είναι ορθή, αφού βαίνει σε ημικύκλιο.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο PSN είναι ST^2 = TN \cdot TP.

Έστω \phi η γωνία PST, που είναι ίση με την SNT, ως γωνίες υπό χορδής κι εφαπτομένης, οπότε ST= d \cdot sin \phi , με 0 < \phi < \frac{\pi}{2}

Οπότε TN\cdot TP = d^2 sin^2(\phi), 0 < \phi < \frac{\pi}{2}.

Αποδεικνύεται εύκολα, ακόμα και δίχως παραγώγους ότι η συνάρτηση y = d^2 sin^2(\phi) με Π.Ο. το (0, \pi/2) είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το (0, d^2). Οπότε έχουμε και το ζητούμενο όριο.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1842
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Απροσδιόριστη μορφή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Δεκ 09, 2019 2:20 pm

Να προσθέσουμε μόνο στην εξαιρετική διαπραγμάτευση του Γιώργου ότι η φυσική ερμηνεία του ορίου είναι η εξής, καθώς το σημείο P κινείται προς τα δεξιά τότε η tan\phi αντίστοιχα αυξάνει ανάλογα του SP και επειδή τυγχάνει η γωνία \phi να είναι οξεία σημαίνει ότι \phi\rightarrow \frac{\pi}{2}.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες