σύνολο τιμών από ανισότητα

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

pastavr
Δημοσιεύσεις: 142
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 5:50 pm

σύνολο τιμών από ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pastavr » Σάβ Νοέμ 30, 2019 1:19 pm

Έστω μία συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το \mathbb{R} για την οποία ισχύει ότι : \dfrac{1}{3}x^2+1\leq f(x) \leq x^2+1 για κάθε x\in\mathbb{R}. Πως μπορεί ένας μαθητής βασιζόμενος στο σχολικό βιβλίο να δικαιολογήσει επαρκώς ότι το σύνολο τιμών της f , είναι το  [1,+\infty);


Παύλος Σταυρόπουλος

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: σύνολο τιμών από ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 30, 2019 2:18 pm

pastavr έγραψε:
Σάβ Νοέμ 30, 2019 1:19 pm
Έστω μία συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το \mathbb{R} για την οποία ισχύει ότι : \dfrac{1}{3}x^2+1\leq f(x) \leq x^2+1 για κάθε x\in\mathbb{R}. Πως μπορεί ένας μαθητής βασιζόμενος στο σχολικό βιβλίο να δικαιολογήσει επαρκώς ότι το σύνολο τιμών της f , είναι το  [1,+\infty);
Από την υπόθεση είναι

α) 1 \le \dfrac{1}{3}x^2+1\leq f(x) \leq x^2+1 με ισότητα αν χ=0, οπότε ελάχιστη τιμή το 1

β) Για οπουδήποτε M \ge 1 επιλέγουμε x_o=\sqrt {3(M-1)} (βασικά λύσαμε την  \dfrac{1}{3}x^2+1=M). Είναι τότε M\le f(x_o), Άρα από συνέχεια το M είναι στο σύνολο τιμών της f.

Και λοιπά.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: σύνολο τιμών από ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Σάβ Νοέμ 30, 2019 2:22 pm

Αρχικά, αφού \frac{1}{3}x^2+1\geq0+1=1, έπεται ότι f(x)\geq1. Θέτοντας όπου x το 0 στη δοσμένη ανισότητα έπεται ότι 1≤ f(0)≤ 1, οπότε f(0)=1 και έτσι f(x)\geq f(0)=1, άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 το f(0)=1.

Για το σύνολο τιμών, μπορεί κανείς να εργαστεί με δύο τρόπους. Κατά πρώτον, εύκολα προκύπτει ότι \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=+∞. Έπειτα, παίρνουμε \eta>1, οπότε βρίσκουμε a κοντά στο +\infty με f(a)>\eta και κάνουμε Θ.Ε.Τ. στο [0,a].

Αν όμως θέλουμε να αποφύγουμε το «κοντά» και όλα αυτά, μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

Έστω \eta>1. Θεωρούμε την εξίσωση:

\displaystyle{\frac{1}{3}x^2+1=\eta+1\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{3\eta}.}

Από τη δοσμένη ανισότητα έπεται ότι:

\displaystyle{f(\sqrt{3\eta})\geq\frac{1}{3}(\sqrt{3\eta})^2+1=\eta+1>\eta>1=f(0),}

οπότε, εφαρμόζουμε Θ.Ε.Τ. στο [0,\sqrt{3\eta}] και έχουμε x_0 τέτοιο ώστε f(x_0)=\eta.

Αφού αυτό έγινε για κάθε \eta>1 και f(0)=1, έπεται ότι f(\mathbb{R})=[1,+\infty).

Edit: Με πρόλαβε ο κ. Λάμπρου, το αφήνω για την τιμή των όπλων. :Ρ


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: σύνολο τιμών από ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 30, 2019 4:31 pm

Είναι f(0)=1 και f(x)\geq 1,x\in \mathbb{R}

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty

Στο σχολικό υπάρχει σελίδα 76 κάτω υπάρχει το εξής:

''Η εικόνα f(\Delta ) ενός διαστήματος \Delta μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής
συνάρτησης f είναι διάστημα.''

Αρα f(\mathbb{R})=[1,\infty )


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες