Οπωσδήποτε φθίνουσα

KARKAR · #1

Η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{1}{x}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty , 0)\cup (0,+\infty)$ .

ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ ;

#2

Προφανώς όχι .

Αν ήταν γνήσια φθίνουσα σε όλο το $A = \mathbb{R} - \{ 0\}$ και αφού - 1 < 1

θα ήταν $f( - 1) > f(1) \Rightarrow - 1 > 1$ άτοπο

#3

Στο προηγούμενο βιβλίο Ανάλυσης Γ' Λυκείου των (ΚΑΤΑΣΑΡΓΥΡΗ, ΜΕΝΤΗ, ΠΑΝΤΕΛΙΔΗ, ΣΟΥΡΛΑ) του 1992, υπάρχει αντιπαράδειγμα στη θεωρία για τη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{a}{x},a > 0$ .

Μάρκος Βασίλης · #4

Η ερώτηση αυτή, θαρρώ, δεν έχει νόημα στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου της Γ', μιας και η μονοτονία ορίζεται σε διάστημα. Άρα δεν έχει νόημα να μιλάμε για την μονοτονία της 1/x

σε όλο το μη συνεκτικό πεδίο ορισμού της.

#5

Ας τροποποιήσουμε τον τύπο , ώστε να ορίζεται σε διάστημα (με το ίδιο ερώτημα )
$g(x)=\left\{\begin{matrix} -x,x\leq 0\\ 1/x,x>0 \end{matrix}\right.$

#6

exdx έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 24, 2019 10:51 pm
Ας τροποποιήσουμε τον τύπο , ώστε να ορίζεται σε διάστημα (με το ίδιο ερώτημα )
$g(x)=\left\{\begin{matrix} -x,x\leq 0\\ 1/x,x>0 \end{matrix}\right.$

Έστω η

γνησίως φθίνουσα . $- \dfrac{1}{2} < 1 \Rightarrow g\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) > g(1) \Rightarrow \dfrac{1}{2} > 1$

Μαθηματικό αδιέξοδο!

#7

exdx έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 24, 2019 10:51 pm
Ας τροποποιήσουμε τον τύπο , ώστε να ορίζεται σε διάστημα (με το ίδιο ερώτημα )
$g(x)=\left\{\begin{matrix} -x,x\leq 0\\ 1/x,x>0 \end{matrix}\right.$

Εάν θέλεις να διατηρήσεις όσο γίνεται περισσότερο την αρχική συνάρτηση, να ένας τρόπος:

$g(x)=\left\{\begin{matrix} 2019, \, x=0 \\ 1/x ,\, x\neq 0 \end{matrix}\right.$

Μάρκος Βασίλης · #8

exdx έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 24, 2019 10:51 pm
Ας τροποποιήσουμε τον τύπο , ώστε να ορίζεται σε διάστημα (με το ίδιο ερώτημα )
$g(x)=\left\{\begin{matrix} -x,x\leq 0\\ 1/x,x>0 \end{matrix}\right.$

άρα η

δεν είναι «1-1» άρα ούτε και γνήσια μονότονη.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 24, 2019 11:59 pm

Εάν θέλεις να διατηρήσεις όσο γίνεται περισσότερο την αρχική συνάρτηση, να ένας τρόπος:

$g(x)=\left\{\begin{matrix} 2019, \, x=0 \\ 1/x ,\, x\neq 0 \end{matrix}\right.$

Νομίζω, το «κάλλιστο» θα ήταν:

$g(x)=\left\{\begin{matrix}0, \, x=0 \\ 1/x ,\, x\neq 0 \end{matrix}\right.$

έτσι ώστε να είναι, τουλάχιστον, «1-1». Αλλά, όπως και να έχει, ίσως είναι καταλληλότερο ένα παράδειγμα του τύπου:

$h(x)=\left\{\begin{matrix}x, \, x\in[0,1] \\ 4-x ,\, x\in(1,2] \end{matrix}\right.$

για να είναι «φυσιολογικά» ορισμένη σε διάστημα (αν και πάλι, με μία ζωγραφιά, φαίνεται ότι δεν είναι μονότονη).

#9

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 25, 2019 12:55 am
Αλλά, όπως και να έχει, ίσως είναι καταλληλότερο ένα παράδειγμα του τύπου:

$h(x)=\left\{\begin{matrix}x, \, x\in[0,1] \\ 4-x ,\, x\in(1,2] \end{matrix}\right.$

για να είναι «φυσιολογικά» ορισμένη σε διάστημα (αν και πάλι, με μία ζωγραφιά, φαίνεται ότι δεν είναι μονότονη).

Υποθέτω ότι εννοείς

$h(x)=\left\{\begin{matrix}-x, \, x\in[0,1] \\ 4-x ,\, x\in(1,2] \end{matrix}\right.$

ώστε να είναι φθίνουσα στα δύο επιμέρους διαστήματα.

Χωρίς αμφιβολία το νόημα της άσκησης είναι παράδειγμα συνάρτησης που είναι φθίνουσα σε δύο ξένα διαστήματα
αλλά όχι στην ένωσή τους. Πρόκειται για πάρα πολύ κοινό θέμα, χιλιοειπωμένο, πλην όμως πολλοί μαθητές
εξακολουθούν να νομίζουν ότι μία τέτοια συνάρτηση είναι σώνει και καλά φθίνουσα στην ένωση των διαστημάτων.

Μάρκος Βασίλης · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 25, 2019 6:41 am

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 25, 2019 12:55 am
Αλλά, όπως και να έχει, ίσως είναι καταλληλότερο ένα παράδειγμα του τύπου:

$h(x)=\left\{\begin{matrix}x, \, x\in[0,1] \\ 4-x ,\, x\in(1,2] \end{matrix}\right.$

για να είναι «φυσιολογικά» ορισμένη σε διάστημα (αν και πάλι, με μία ζωγραφιά, φαίνεται ότι δεν είναι μονότονη).
Υποθέτω ότι εννοείς

$h(x)=\left\{\begin{matrix}-x, \, x\in[0,1] \\ 4-x ,\, x\in(1,2] \end{matrix}\right.$

ώστε να είναι φθίνουσα στα δύο επιμέρους διαστήματα.

Χωρίς αμφιβολία το νόημα της άσκησης είναι παράδειγμα συνάρτησης που είναι φθίνουσα σε δύο ξένα διαστήματα
αλλά όχι στην ένωσή τους. Πρόκειται για πάρα πολύ κοινό θέμα, χιλιοειπωμένο, πλην όμως πολλοί μαθητές
εξακολουθούν να νομίζουν ότι μία τέτοια συνάρτηση είναι σώνει και καλά φθίνουσα στην ένωση των διαστημάτων.

Ναι, μου ξέφυγε το «-». Απλά, αυτό που το παράδειγμα, πράγματι χιλιοειπωμένο, δεν ξέρω πια κατά πόσο εξυπηρετεί, δεδομένου ότι η συνάρτηση είναι φθίνουσα σε δύο ξένα διαστήματα, αλλά δεν έχει νόημα να αναρωτηθούμε αν είναι φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, μιας και δεν είναι συνεκτικό.

Οπωσδήποτε φθίνουσα

Οπωσδήποτε φθίνουσα

Re: Οπωσδήποτε φθίνουσα

Re: Οπωσδήποτε φθίνουσα

Re: Οπωσδήποτε φθίνουσα

Re: Οπωσδήποτε φθίνουσα

Re: Οπωσδήποτε φθίνουσα

Re: Οπωσδήποτε φθίνουσα

Re: Οπωσδήποτε φθίνουσα

Re: Οπωσδήποτε φθίνουσα

Re: Οπωσδήποτε φθίνουσα

Μέλη σε σύνδεση