Βοήθεια σε θέμα αντίστροφης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

EmperorIoannes
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Αύγ 12, 2019 2:43 pm

Βοήθεια σε θέμα αντίστροφης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από EmperorIoannes » Δευ Αύγ 12, 2019 3:10 pm

Καλησπέρα σας. Πρόσφατα έπεσε ένα πρόβλημα στα χέρια μου αντίστροφων συναρτήσεων και ομολογουμένως οι τεχνικές που χρησιμοποιώ ανεπαρκούν για την λύση του. Το παραθέτω ελπίζοντας σε μια μικρή βοήθεια. Η άσκηση έχει ως εξής:

Εκφώνηση
Να βρεθούν τα α,β  \epsilon \mathbb{R} έτσι ώστε για την f(x)=\frac{ax+b}{x-2} να ισχύει f=f^{-1}.

Απόπειρα λύσης
Βλέποντας την άσκηση πρώτη μου σκέψη ήταν να ακολουθήσω την πεπατημένη οδό. Λύνοντας f(x)=y ως προς χ δίνει ότι η συνάρτηση έχει ως αντίστροφη την ίδια την συνάρτηση (εκτός αν οι πράξεις μου έχουν λάθος). Έχουμε:
f(x)=y\Leftrightarrow \frac{ax+b}{x-2}=y
ax+b=y(x-2)\Leftrightarrow ax+b=yx-2y\Leftrightarrow x(y-a)=2y+b\Leftrightarrow x=\frac{2y+b}{y-a}

Εντέλει καταλήγουμε ότι f^{-1}(x)=\frac{2x+b}{x-a} με περιορισμό x\neq a,2.

Παίρνοντας f(x)=f^{-1}(x) καταλήγουμε από ισότητα πολυωνύμων ότι a=2.

Η εύρεση του β σταμάτησε εκ μέρους μου για τον απλούστατο λόγο ότι δεν ήξερα που αλλού να κινηθώ.

Και σε αυτό το σημείο αδυνατώ να συνεχίσω. Θα το εκτιμούσα ιδιαίτερα αν οποιοσδήποτε γνώστης πρόσφερε μια βοήθεια παραπάνω. Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Για οποιαδήποτε λάθη στην διατύπωση με LaTEX ζητάω συγγνώμη εκ των προτέρων.



Λέξεις Κλειδιά:
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Βοήθεια σε θέμα αντίστροφης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Δευ Αύγ 12, 2019 4:12 pm

EmperorIoannes έγραψε:
Δευ Αύγ 12, 2019 3:10 pm
Καλησπέρα σας. Πρόσφατα έπεσε ένα πρόβλημα στα χέρια μου αντίστροφων συναρτήσεων και ομολογουμένως οι τεχνικές που χρησιμοποιώ ανεπαρκούν για την λύση του. Το παραθέτω ελπίζοντας σε μια μικρή βοήθεια. Η άσκηση έχει ως εξής:

Εκφώνηση
Να βρεθούν τα α,β  \epsilon \mathbb{R} έτσι ώστε για την f(x)=\frac{ax+b}{x-2} να ισχύει f=f^{-1}.

Απόπειρα λύσης
Βλέποντας την άσκηση πρώτη μου σκέψη ήταν να ακολουθήσω την πεπατημένη οδό. Λύνοντας f(x)=y ως προς χ δίνει ότι η συνάρτηση έχει ως αντίστροφη την ίδια την συνάρτηση (εκτός αν οι πράξεις μου έχουν λάθος). Έχουμε:
f(x)=y\Leftrightarrow \frac{ax+b}{x-2}=y
ax+b=y(x-2)\Leftrightarrow ax+b=yx-2y\Leftrightarrow x(y-a)=2y+b\Leftrightarrow x=\frac{2y+b}{y-a}

Εντέλει καταλήγουμε ότι f^{-1}(x)=\frac{2x+b}{x-a} με περιορισμό x\neq a,2.

Παίρνοντας f(x)=f^{-1}(x) καταλήγουμε από ισότητα πολυωνύμων ότι a=2.

Η εύρεση του β σταμάτησε εκ μέρους μου για τον απλούστατο λόγο ότι δεν ήξερα που αλλού να κινηθώ.

Και σε αυτό το σημείο αδυνατώ να συνεχίσω. Θα το εκτιμούσα ιδιαίτερα αν οποιοσδήποτε γνώστης πρόσφερε μια βοήθεια παραπάνω. Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Για οποιαδήποτε λάθη στην διατύπωση με LaTEX ζητάω συγγνώμη εκ των προτέρων.
Αρχικά θα έπρεπε η f να είναι "1-1" ώστε να είναι αντιστρέψιμη.
Στη συνέχεια για να είναι  f=f^{-1} θα πρέπει να έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και από αυτό προκύπτει η τιμή του a .
Τέλος η τιμή του b προκύπτει από ότι πρέπει να είναι και  f(x)=f^{-1}(x) για κάθε x στο πεδίο ορισμού τους.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Βοήθεια σε θέμα αντίστροφης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Αύγ 12, 2019 4:56 pm

NIZ έγραψε:
Δευ Αύγ 12, 2019 4:12 pm
EmperorIoannes έγραψε:
Δευ Αύγ 12, 2019 3:10 pm
Καλησπέρα σας. Πρόσφατα έπεσε ένα πρόβλημα στα χέρια μου αντίστροφων συναρτήσεων και ομολογουμένως οι τεχνικές που χρησιμοποιώ ανεπαρκούν για την λύση του. Το παραθέτω ελπίζοντας σε μια μικρή βοήθεια. Η άσκηση έχει ως εξής:

Εκφώνηση
Να βρεθούν τα α,β  \epsilon \mathbb{R} έτσι ώστε για την f(x)=\frac{ax+b}{x-2} να ισχύει f=f^{-1}.

Απόπειρα λύσης
Βλέποντας την άσκηση πρώτη μου σκέψη ήταν να ακολουθήσω την πεπατημένη οδό. Λύνοντας f(x)=y ως προς χ δίνει ότι η συνάρτηση έχει ως αντίστροφη την ίδια την συνάρτηση (εκτός αν οι πράξεις μου έχουν λάθος). Έχουμε:
f(x)=y\Leftrightarrow \frac{ax+b}{x-2}=y
ax+b=y(x-2)\Leftrightarrow ax+b=yx-2y\Leftrightarrow x(y-a)=2y+b\Leftrightarrow x=\frac{2y+b}{y-a}

Εντέλει καταλήγουμε ότι f^{-1}(x)=\frac{2x+b}{x-a} με περιορισμό x\neq a,2.

Παίρνοντας f(x)=f^{-1}(x) καταλήγουμε από ισότητα πολυωνύμων ότι a=2.

Η εύρεση του β σταμάτησε εκ μέρους μου για τον απλούστατο λόγο ότι δεν ήξερα που αλλού να κινηθώ.

Και σε αυτό το σημείο αδυνατώ να συνεχίσω. Θα το εκτιμούσα ιδιαίτερα αν οποιοσδήποτε γνώστης πρόσφερε μια βοήθεια παραπάνω. Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Για οποιαδήποτε λάθη στην διατύπωση με LaTEX ζητάω συγγνώμη εκ των προτέρων.


Αρχικά θα έπρεπε η f να είναι "1-1" ώστε να είναι αντιστρέψιμη.
Στη συνέχεια για να είναι  f=f^{-1} θα πρέπει να έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και από αυτό προκύπτει η τιμή του a .
Τέλος η τιμή του b προκύπτει από ότι πρέπει να είναι και  f(x)=f^{-1}(x) για κάθε x στο πεδίο ορισμού τους.
Από την λύση που έχει γίνει είναι φανερό ότι η συνάρτηση είναι 1-1 εκτός εάν η τιμή που βρίσκουμε για το x δεν
είναι μοναδική.

Αλλα

x=\frac{2y+b}{y-2}=2+\frac{4+b}{y-2}

Ετσι αν b\neq -4

δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα.

Η τελική απάντηση είναι a=2,b\neq -4


EmperorIoannes
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Αύγ 12, 2019 2:43 pm

Re: Βοήθεια σε θέμα αντίστροφης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από EmperorIoannes » Δευ Αύγ 12, 2019 5:53 pm

Ευχαριστώ θερμά τους κυρίους ΝΙΖ και Παπαδόπουλο που βρήκαν την σωστή λύση. Ύστερα από προτροπή των μελών δοκίμασα ξανά την λύση και βρήκα τα ίδια.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης