Πεπλεγμένη συνάρτηση!

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Πεπλεγμένη συνάρτηση!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Μαρ 31, 2019 1:27 pm

Ένα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες.

Δίνεται συνάρτηση \displaystyle{y=f(x)} με πεδίο ορισμού το \displaystyle{\mathbb{R},} ώστε \displaystyle{\sin x+\sin y=x-y^3.}

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 875
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Μαρ 31, 2019 4:42 pm

Όταν βλέπω ανάρτηση του Θάνου λέω κάτι καλό ψήνεται! Για πάμε να δούμε. Ξεκινάω με το πρώτο ερώτημα.

(α) Για x=0 στη δοθείσα συναρτησιακή εξίσωση έχουμε:

\displaystyle{\sin f(0)+f^{3}(0)=0}
Θα αποδείξουμε ότι f(0)=0 και άρα το 0 είναι ρίζα της f. Θεωρούμε τη συνάρτηση:

\displaystyle{g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\mid g(x):=\sin x+ x^{3}}
Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη τρεις φορές με \displaystyle{g'(x)=\cos x+3x^{2}}, \displaystyle{g''(x)=-\sin x+6x} και \displaystyle{g'''(x)=6-\cos x}. Επειδή:

\displaystyle{-1\leq \cos x \leq 1\Leftrightarrow -1\leq -\cos x\leq 1\Leftrightarrow 0<5\leq 6-\cos x\leq 7}
Έχουμε ότι g'''>0 και επομένως η g'' είναι γνησίως αύξουσα. Άρα, για κάθε \displaystyle{x\geq 0\Leftrightarrow g''(x)\geq g''(0)=0} και για κάθε \displaystyle{x\leq  0\Leftrightarrow g''(x)\leq  0}. Επομένως, η g' είναι αύξουσα στο \displaystyle{\left [0,+\infty   \right )} και φθίνουσα στο \displaystyle{\left (-\infty ,0  \right ]} άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 και άρα \displaystyle{g'(x)\geq g'(0)=1>0}.

Επομένως, η g είναι γνησίως αύξουσα και άρα 1-1. Τελικά, \displaystyle{g\left ( f\left ( 0 \right ) \right )=0=g(0)\Leftrightarrow f(0)=0}.

Τώρα, έστω ότι η f έχει και δεύτερη ρίζα r διαφορετική από την μηδενική. Τότε, για x=r στην συναρτησιακή εξίσωση έχουμε:

\displaystyle{\sin r + \sin f(r)=r-f^{3}(r)\Leftrightarrow \sin r=r}
Όμως, από την γνωστή ανισότητα του σχολικού βιβλίου για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει:

\displaystyle{\left | \sin x \right |\leq \left | x \right |\Leftrightarrow -\left | x \right |\leq \sin x\leq \left | x \right |}
Διακρίνοντας περιπτώσεις έχουμε ότι για κάθε \displaystyle{x\geq 0} ισχύει \displaystyle{\sin x\leq x} με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν x=0. Επομένως, r=0. Το οποίο είναι φυσικά άτοπο.

Τελικά, η μόνη ρίζα της f είναι το μηδέν.

Η συνέχεια μετά το φαγητό.

Και αφού φάγαμε και κάτι πάμε για το δεύτερο ερώτημα.

(β) Θέτουμε στην συναρτησιακή όπου x το -x και έχουμε:

\displaystyle{\sin (-x)+\sin f(-x)=-x-f^{3}(-x)\Leftrightarrow -\sin x+\sin f(-x)=-x-f^{3}(-x)} σχέση (1)
Προσθέτοντας την δοθείσα συναρτησιακή με την σχέση (1) έχουμε ότι για κάθε x\in \mathbb{R}:

\displaystyle{\sin f(x)+\sin f(-x)=-f^{3}(x)-f^{3}(-x)\Leftrightarrow }

\displaystyle{\sin f(x)+f^{3}(x)=-\sin f\left ( -x \right )-f^{3}(x)\Leftrightarrow }

\displaystyle{\sin f(x)+f^{3}(x)=\sin \left ( -f(-x) \right )-f^{3}(x)\Leftrightarrow}

\displaystyle{g\left ( f(x) \right )=g\left ( -f\left ( -x \right ) \right )}

Όμως, η συνάρτηση g είναι 1-1 από το προηγούμενο ερώτημα, άρα \displaystyle{f\left ( x \right )=-f\left ( -x \right )}, για κάθε x\in \mathbb{R}. Επομένως, η f είναι περιττή.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Μαρ 31, 2019 7:38 pm

μια άλλη λύση
2.
Έχει αποδειχθεί ότι η \displaystyle{g(t)=t^3+sint}είναι γν αύξουσα άρα 1-1

έστω \displaystyle{y=f(x),z=f(-x)} τότε \displaystyle{y^3+siny=x-sinx,z^3+sinz=-x+sinx} άρα \displaystyle{g(y)=g(-z)} δηλαδή \displaystyle{f(x)=-f(-x)} οπότε \displaystyle{f} περιττή
sinx
3.και 4.
Συνολο τιμων της \displaystyle{x-sinx} το R συνολο τμων της g το R kαι το g(R)=R

Αν \displaystyle{y_1=y_2\Rightarrow y^3_1+siny_1=y^3_2+siny_2\Rightarrow x_1-x_2=sinx_1-sinx_2} που όπως είναι γνωστό ισχύει μόνον όταν \displaystyle{x_1=x_2} άρα \displaystyle{f} 1-1 συνεπώς γν μονότονη
P
ακόμη όταν \displaystyle{x\to +\infty} είναι \displaystyle{x-sinx \to+\infty} αρα \displaystyle{y^3+siny \to +\infty} δηλαδή \displaystyle{y\to +\infty} και λόγω συμμετρίας \displaystyle{y\to -\infty} οταν \displaystyle{x\to -\infty}συμπεραίνουμε ότι η \displaystyle{f} είναι αύξουσα με σύνολο τιμών το \displaystyle{R}
1.
Από το προηγούμενα όρια υπάρχουν \displaystyle{x_1,x_2:y_1y_2<0} και αφού \displaystyle{f } συνεχής έχει ρίζα \displaystyle{r:r=sinr} που είναι γνωστό ότι ισχύει μόνον για \displaystyle{r=0}
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Σάβ Απρ 13, 2019 8:50 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 435
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Μαρ 31, 2019 8:37 pm

matha έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 1:27 pm
Ένα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες.

Δίνεται συνάρτηση \displaystyle{y=f(x)} με πεδίο ορισμού το \displaystyle{\mathbb{R},} ώστε \displaystyle{\sin x+\sin y=x-y^3.}

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
1. Έστω x_0 μια λύση. Τότε \displaystyle \sin x_0+\sin f(x_0)=x_{0}-f^3(x_0)\Rightarrow  \sin x_0=x_{0}\Rightarrow  x_0=0.

Αντίστροφα, για x_0=0, από τη δοσμένη έχουμε \displaystyle \sin f(x_0)=-f^3(x_0)\Rightarrow  f(x_0)=0

αφού, όπως απέδειξε ο Μάριος παραπάνω, η \displaystyle x^3+\sin x είναι γν.αύξουσα με μοναδική ρίζα την x=0.


2 και 3 Για \displaystyle h(x)=x-\sin x , g(x)=x^3+\sin x έχουμε ότι και οι δύο είναι γν.αύξουσες και περιττές.

Επομένως η g είναι αντιστρέψιμη και από τη δοσμένη \displaystyle g(f(x))=h(x)\Leftrightarrow f(x)=g^{-1}(h(x)).

Επειδή η g είναι περιττή θα είναι και η αντίστροφή της g^{-1} περιττή.

Επειδή οι g^{-1} και h είναι περιττές η σύνθεσή τους f θα είναι περιττή.

Το σύνολο τιμών της γν.αύξουσας g είναι διάστημα αφού g συνεχής. Άρα το πεδίο ορισμού της g^{-1}

είναι διάστημα και από γνωστή πρόταση g^{-1} γν.αύξουσα.

**Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης το θέλουμε διάστημα για να λειτουργήσει ο σχολικός ορισμός της μονοτονίας.**

Επίσης, η h είναι γν.αύξουσα.

Άρα και η σύνθεσή τους f θα είναι γν.αύξουσα.


4. Υποθέτουμε ότι υπάρχει a\in R ώστε f(x)\neq a για κάθε x.

Τότε για κάθε x ισχύει \displaystyle g^{-1}(h(x))\neq a\Leftrightarrow h(x)\neq g(a) άτοπο αφού h(R)=R.

Άρα f(R)=R.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4242
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Απρ 01, 2019 10:48 pm

matha έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 1:27 pm
Ένα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες.

Δίνεται συνάρτηση \displaystyle{y=f(x)} με πεδίο ορισμού το \displaystyle{\mathbb{R},} ώστε \displaystyle{\sin x+\sin y=x-y^3.}

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Ίσως έχει ενδιαφέρον το ερώτημα:
Δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση ορισμένη στους πραγματικούς που ικανοποιεί την σχέση της εκφώνησης.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2509
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Απρ 03, 2019 9:54 am

nsmavrogiannis έγραψε:
Δευ Απρ 01, 2019 10:48 pm
matha έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 1:27 pm
Ένα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες.

Δίνεται συνάρτηση \displaystyle{y=f(x)} με πεδίο ορισμού το \displaystyle{\mathbb{R},} ώστε \displaystyle{\sin x+\sin y=x-y^3.}

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

\displaystyle{\color{red}\bullet} Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Ίσως έχει ενδιαφέρον το ερώτημα:
Δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση ορισμένη στους πραγματικούς που ικανοποιεί την σχέση της εκφώνησης.
Νομίζω ότι είναι στάνταρ οι τρόποι αντιμετώπισης για την ύπαρξη της f

Η σχέση γράφεται  \displaystyle y^3+\sin y=x-\sin x .

Θέτουμε 
g(x)=x^3+\sin x,h(x)=x-\sin x

1 τρόπος.
Αρκεί να δείξουμε ότι για t\in \mathbb{R}
η εξίσωση  \displaystyle y^3+\sin y=t  εχει ακριβώς μια λύση.
Δηλαδή η  \displaystyle g( y)=t  εχει ακριβώς μια λύση.
Προκύπτει εύκολα κάνοντας την μελέτη της g .

2 τρόπος
Αφού κάνουμε την μελέτη της g δείχνουμε ότι \displaystyle f=g^{-1}\circ h


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης