Όριο με λογάριθμο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3834
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Όριο με λογάριθμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Φεβ 16, 2019 9:18 am

Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1^+}\left (1 - \frac{1}{x}\right)^x \left[ \log\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x - 1}\right]}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3834
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Όριο με λογάριθμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 21, 2019 5:34 pm

Επαναφορά!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Energy Engineer
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 02, 2010 9:05 pm
Τοποθεσία: Γερμανία

Re: Όριο με λογάριθμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Energy Engineer » Τρί Μάιος 21, 2019 6:02 pm

Python απαντήσεις:

1) Αν ο λογάριθμος έχει βάση το e, τότε η απάντηση είναι: 1
2) Αν ο λογάριθμος έχει βάση το 10, τότε η απάντηση είναι: 1
3) Αν ο λογάριθμος έχει βάση το 2, τότε η απάντηση είναι: 1

Κώδικας: Επιλογή όλων

    
    a = np.asarray([10, 5, 2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, 1.00001, 1.000001, 1.0000001, 1.00000001])

Κώδικας: Επιλογή όλων

    for i in a:
        b = ((1-1/i)**i) * (math.log(1-1/i,2) + 1/(i-1))
        print (b)
-0.014258152612794566
-0.02356939813269088
0.0
0.07987400397747657
0.11989898049780923
0.18102028927513353
0.28128228289105905
0.4678251191541569
0.8824935311391916
0.9822342191202245
0.9976520524316819
0.9997088027560199
0.999965253345097
0.9999959629261101
0.9999995389367878


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο με λογάριθμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 21, 2019 11:01 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Φεβ 16, 2019 9:18 am
Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1^+}\left (1 - \frac{1}{x}\right)^x \left[ \log\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x - 1}\right]}
Ας δώσουμε και την κανονική λύση.
Είναι
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}(\log(1 - \frac{1}{x}) + \frac{1}{x - 1})(x-1)=1+ \lim_{x\rightarrow 1^{+}}(\log(1 - \frac{1}{x})(x-1)=

\displaystyle 1+\lim_{x\rightarrow 1^{+}}(\log(x -1) -\log x)(x-1)=1+0=1

διότι
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\log(x-1)(x-1)=\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0^{+}}\log(t)(t)=0

Επίσης είναι
\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}\left (1 - \frac{1}{x}\right)^x \frac{1}{x-1}= \lim_{x \rightarrow 1^+}(x-1)^{x-1}\frac{1}{x^{x}}=1
γιατί
\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}(x-1)^{x-1}=\lim_{t \rightarrow 0^+}(t)^{t}=1

πολλαπλασιάζοντας παίρνουμε ότι το όριο είναι 1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης