Όριο με λογάριθμο

Tolaso J Kos

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1^+}\left (1 - \frac{1}{x}\right)^x \left[ \log\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x - 1}\right]}$

Tolaso J Kos

Επαναφορά!

Energy Engineer

Python απαντήσεις:

1) Αν ο λογάριθμος έχει βάση το e, τότε η απάντηση είναι: 1
2) Αν ο λογάριθμος έχει βάση το 10, τότε η απάντηση είναι: 1
3) Αν ο λογάριθμος έχει βάση το 2, τότε η απάντηση είναι: 1

Κώδικας: Επιλογή όλων

    
    a = np.asarray([10, 5, 2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, 1.00001, 1.000001, 1.0000001, 1.00000001])

Κώδικας: Επιλογή όλων

    for i in a:
        b = ((1-1/i)**i) * (math.log(1-1/i,2) + 1/(i-1))
        print (b)

-0.014258152612794566
-0.02356939813269088
0.0
0.07987400397747657
0.11989898049780923
0.18102028927513353
0.28128228289105905
0.4678251191541569
0.8824935311391916
0.9822342191202245
0.9976520524316819
0.9997088027560199
0.999965253345097
0.9999959629261101
0.9999995389367878

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 16, 2019 9:18 am
Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1^+}\left (1 - \frac{1}{x}\right)^x \left[ \log\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x - 1}\right]}$

Ας δώσουμε και την κανονική λύση.
Είναι
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}(\log(1 - \frac{1}{x}) + \frac{1}{x - 1})(x-1)=1+ \lim_{x\rightarrow 1^{+}}(\log(1 - \frac{1}{x})(x-1)=$

$\displaystyle 1+\lim_{x\rightarrow 1^{+}}(\log(x -1) -\log x)(x-1)=1+0=1$

διότι
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\log(x-1)(x-1)=\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0^{+}}\log(t)(t)=0$

Επίσης είναι
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}\left (1 - \frac{1}{x}\right)^x \frac{1}{x-1}= \lim_{x \rightarrow 1^+}(x-1)^{x-1}\frac{1}{x^{x}}=1$
γιατί
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}(x-1)^{x-1}=\lim_{t \rightarrow 0^+}(t)^{t}=1$

πολλαπλασιάζοντας παίρνουμε ότι το όριο είναι

Όριο με λογάριθμο

Όριο με λογάριθμο

Re: Όριο με λογάριθμο

Re: Όριο με λογάριθμο

Re: Όριο με λογάριθμο

Μέλη σε σύνδεση