Σωστό-λάθος

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ann79
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Σωστό-λάθος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Παρ Δεκ 28, 2018 11:57 am

Καλημέρα και χρόνια πολλά.

Υπάρχουν συναρτήσεις f,g:R\rightarrow R με την g να μην είναι 1-1 αλλά η σύνθεση της g με την f να είναι 1-1. Σωστό ή λάθος;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11290
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σωστό-λάθος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 28, 2018 12:23 pm

ann79 έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2018 11:57 am
Καλημέρα και χρόνια πολλά.

Υπάρχουν συναρτήσεις f,g:R\rightarrow R με την g να μην είναι 1-1 αλλά η σύνθεση της g με την f να είναι 1-1. Σωστό ή λάθος;
Ναι, υπάρχουν. Άπειρες οι επιλογές αλλά βάζω μία με πολύ γνώριμες στους μαθητές, συναρτήσεις:

g(x)=x^2 και f(x)=e^x. Τότε η σύνθεση g(f(x))= e^{2x}, που είναι 1-1.


sov_arvyd
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 27, 2016 8:26 pm

Re: Σωστό-λάθος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sov_arvyd » Σάβ Δεκ 29, 2018 2:46 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2018 12:23 pm
ann79 έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2018 11:57 am
Καλημέρα και χρόνια πολλά.

Υπάρχουν συναρτήσεις f,g:R\rightarrow R με την g να μην είναι 1-1 αλλά η σύνθεση της g με την f να είναι 1-1. Σωστό ή λάθος;
Ναι, υπάρχουν. Άπειρες οι επιλογές αλλά βάζω μία με πολύ γνώριμες στους μαθητές, συναρτήσεις:

g(x)=x^2 και f(x)=e^x. Τότε η σύνθεση g(f(x))= e^{2x}, που είναι 1-1.
Προσοχή! Όταν το σχολικό βιβλίο μιλά για τη σύνθεση της g με την f αναφέρεται στην f\circ g.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11290
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σωστό-λάθος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 29, 2018 9:47 am

sov_arvyd έγραψε:
Σάβ Δεκ 29, 2018 2:46 am
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2018 12:23 pm
ann79 έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2018 11:57 am
Υπάρχουν συναρτήσεις f,g:R\rightarrow R με την g να μην είναι 1-1 αλλά η σύνθεση της g με την f να είναι 1-1. Σωστό ή λάθος;
Ναι, υπάρχουν. Άπειρες οι επιλογές αλλά βάζω μία με πολύ γνώριμες στους μαθητές, συναρτήσεις:

g(x)=x^2 και f(x)=e^x. Τότε η σύνθεση g(f(x))= e^{2x}, που είναι 1-1.
Προσοχή! Όταν το σχολικό βιβλίο μιλά για τη σύνθεση της g με την f αναφέρεται στην f\circ g.
Με αυτή την εκδοχή, η απάντηση είναι αρνητική για τετριμμένους λόγους. Συγκεκριμένα, αφού υπάρχουν a\ne b με g(a)=g(b), για τα ίδια αυτά a,b είναι f(g(a))=f(g(b)). Άρα η f\circ g δεν είναι 1-1.

Μου κάνει εντύπωση ότι ως "σύνθεση της g με την f" βαφτίζεται η f\circ g αφού η τελευταία διαβάζεται "f σύνθεση g".


ann79
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Re: Σωστό-λάθος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Πέμ Ιαν 03, 2019 2:47 pm

Καλησπέρα και καλή χρονιά σε όλους, σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 281
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Σωστό-λάθος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Πέμ Ιαν 03, 2019 6:52 pm

Χρόνια πολλά και καλή χρονιά.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Δεκ 29, 2018 9:47 am


Μου κάνει εντύπωση ότι ως "σύνθεση της g με την f" βαφτίζεται η f\circ g αφού η τελευταία διαβάζεται "f σύνθεση g".


Το σχολικό βιβλίο γράφει
“... ονομάζουμε σύνθεση της f με την g , και την συμβολίζουμε με  g\circ f...”
Ομοίως κι ο Παντελίδης γράφει
“ Ονομάζουμε σύνθεση των συναρτήσεων f και g (με αυτή τη σειρά) τη συνάρτηση  g\circ f...”
Αντιθέτως ο Spivak γράφει
“… ορίζουμε μια νέα συνάρτηση  f\circ g , τη σύνθεση των f και g , με ...”
Επειδή όμως στα σχολεία χρησιμοποιείται το συγκεκριμένο βιβλίο, χρειάζεται προσοχή γιατί :
Αν ζητηθεί η  f\circ g δεν υπάρχει θέμα παρανόησης.
Αν όμως ζητηθεί η σύνθεση της f με την g , σύμφωνα με το σχολικό, πόσοι μαθητές θα έβρισκαν την  g\circ f ;
Για τον λόγο αυτό η συνάρτηση π.χ.  h(x)=e^{3x} είναι σύνθεση των f(x)=3x και g(x)=e^x και όχι το αντίστροφο.
Πάντα σύμφωνα με το σχολικό.
τελευταία επεξεργασία από Νίκος Ζαφειρόπουλος σε Πέμ Ιαν 03, 2019 7:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11290
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σωστό-λάθος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 03, 2019 7:32 pm

Νίκο, ευχαριστώ για τις διευκρινήσεις περί της ονοματολογίας των f\circl g, \, g\circlf εντός ή εκτός σχολικής πρακτικής.

Όπως και να είναι, η απάντησή μου περιλαμβάνει και τις δύο εκδοχές.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες