Bolzano

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Nikos002
Δημοσιεύσεις: 93
Εγγραφή: Κυρ Απρ 15, 2018 5:21 pm

Bolzano

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikos002 » Πέμ Δεκ 27, 2018 8:38 pm

1 + xf(x) \leq sinx+ cosx για καθε x\in \mathbb{R}
f(0)=1, f \sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma

Να δείξετε ότι υπάρχει \xi \in \mathbb{R}
τέτοιο ώστε f(\xi) =0
Ευχαριστω προκαταβολικά σε όποιον έχει χρόνο να με βοηθήσει



Λέξεις Κλειδιά:
xarit
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 04, 2018 6:12 pm

Re: Bolzano

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xarit » Πέμ Δεκ 27, 2018 9:14 pm

Καλησπέρα.
f συνεχής ,άρα \underset{x\to 0}{\mathop{\lim}}\,f(x)=1>0 άρα υπάρχει α κοντά στο 0 ώστε f(\alpha)>0.
\cdot Για x>0 έχουμε f(x)\leq \dfrac{sinx+cosx-1}{x}.Βρίσκουμε f(\pi)\leq \dfrac{-2}{\pi}<0.
f συνεχής στο [\alpha,\pi].
Άρα από Θ.Bolzano υπάρχει ,τουλάχιστον, ένα \xi\in(\alpha,\pi) ώστε f(\xi)=0


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Bolzano

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 27, 2018 9:37 pm

Nikos002 έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 8:38 pm
1 + xf(x) \leq sinx+ cosx για καθε x\in \mathbb{R}
f(0)=1, f \sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma

Να δείξετε ότι υπάρχει \xi \in \mathbb{R}
τέτοιο ώστε f(\xi) =0
Σωστή η παραπάνω λύση αλλά κάνει τα εύκολα δύσκολα με τα περιττά στοιχεία που έχει (δεν χρειάζονται να περί \alpha >0). Βελτιώνω:

Έχουμε f(0)=1>0. Επίσης για x= \pi είναι 1+ \pi f(\pi) < -1, άρα  \pi f(\pi) < -2<0, από όπου f(\pi) <0. Τώρα Bolzano στο [0, \pi].


xarit
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 04, 2018 6:12 pm

Re: Bolzano

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xarit » Πέμ Δεκ 27, 2018 9:48 pm

Το απλό είναι το πιο δύσκολο.Απορώ αφού δίνεται και το f(0) γιατί το έλυσα έτσι.


Nikos002
Δημοσιεύσεις: 93
Εγγραφή: Κυρ Απρ 15, 2018 5:21 pm

Re: Bolzano

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikos002 » Πέμ Δεκ 27, 2018 9:52 pm

Ευχαριστώ πολύ για την υπόδειξη


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Bolzano

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 27, 2018 10:18 pm

Nikos002 έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 9:52 pm
Ευχαριστώ πολύ για την υπόδειξη
Να 'σαι καλά αλλά, προσοχή, δεν πρόκειται για υπόδειξη. Πρόκειται για πλήρη λύση!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Bolzano

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 27, 2018 10:38 pm

Nikos002 έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 8:38 pm
1 + xf(x) \leq sinx+ cosx για καθε x\in \mathbb{R}
f(0)=1, f \sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma

Να δείξετε ότι υπάρχει \xi \in \mathbb{R}
τέτοιο ώστε f(\xi) =0
.
Ας την βελτιώσουμε: Δείξτε το ίδιο πράγμα αλλά χωρίς την υπόθεση f(0)=1. Για να είμαι πιο σαφής:

Αν f : \mathbb R \to \mathbb R συνεχής συνάρτηση με 1 + xf(x) \leq \sin x+ \cos x για κάθε x\in \mathbb{R},
δείξτε ότι υπάρχει \xi \in \mathbb{R} με f(\xi) =0


Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.


xarit
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 04, 2018 6:12 pm

Re: Bolzano

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xarit » Πέμ Δεκ 27, 2018 10:53 pm

\cdot Για x>0 έχουμε f(x)\leq \dfrac{sinx+cosx-1}{x}.Άρα \underset{x\to 0^{+}}{\mathop{\lim}}\,f(x)\leq \underset{x\to 0^{+}}{\mathop{\lim}}\,\dfrac{sinx+cosx-1}{x}=1
\cdot Για x<0 έχουμε f(x)\geq \dfrac{sinx+cosx-1}{x}.Άρα \underset{x\to 0^{-}}{\mathop{\lim}}\,f(x)\geq \underset{x\to 0^{-}}{\mathop{\lim}}\,\dfrac{sinx+cosx-1}{x}=1.
Αφού f συνεχής ,τότε f(0)=1 και τα γνωστά μετά.


Nikos002
Δημοσιεύσεις: 93
Εγγραφή: Κυρ Απρ 15, 2018 5:21 pm

Re: Bolzano

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikos002 » Πέμ Δεκ 27, 2018 11:30 pm

Η άσκηση κανονικά ήταν έτσι όπως το είπε ο κύριος Μιχάλης , εγώ στην αρχή προσπάθησα στο [0,π/2] απλως έμενε το μικρότερο ή ίσο , σκέφτηκα να πάρω δύο περιπτώσεις απλως δεν είμουν εντελως σίγουρος δηλαδή ότι f(π/2)=0 ή αν f(π/2) <0 με το f(π/2) διαφορετικό του μηδενός
τελευταία επεξεργασία από Nikos002 σε Πέμ Δεκ 27, 2018 11:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Nikos002
Δημοσιεύσεις: 93
Εγγραφή: Κυρ Απρ 15, 2018 5:21 pm

Re: Bolzano

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikos002 » Πέμ Δεκ 27, 2018 11:31 pm

Nikos002 έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 11:30 pm
Η άσκηση κανονικά ήταν έτσι όπως το είπε ο κύριος Μιχάλης , εγώ στην αρχή προσπάθησα στο [0,π/2] απλως έμενε το μικρότερο ή ίσο , σκέφτηκα να πάρω δύο περιπτώσεις απλως δεν είμουν εντελως σίγουρος δηλαδή ότι f(π/2)=0 ή αν f(π/2) <0 με το f(π/2) διαφορετικό του μηδενός


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Bolzano

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 28, 2018 12:53 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 10:38 pm

Αν f : \mathbb R \to \mathbb R συνεχής συνάρτηση με 1 + xf(x) \leq \sin x+ \cos x για κάθε x\in \mathbb{R},
δείξτε ότι υπάρχει \xi \in \mathbb{R} με f(\xi) =0

.
xarit, σωστή η λύση σου αλλά μπορούμε πιο απλά, αποφεύγοντας να πάρουμε όρια:

Για x= \pi είναι 1+ \pi f(\pi) \le -1, άρα \pi f(\pi) \le -2<0, από όπου f(\pi) <0.

Για x= -\pi είναι 1- \pi f(-\pi) \le -1, άρα -\pi f(-\pi) \le -2<0, από όπου f(-\pi) >0.

Τώρα Bolzano στο [-\pi, \pi].


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης