Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

alexkont · #1

$f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty ) , f(x)<x , \forall x>0$
f συνεχής

i). Νδό f(0)=0

ii). Νδό $\forall a,b>0, a<b, \exists M\epsilon [0,1) :f(x)\leq Mx , \forall x\epsilon [a,b]$

sokpanvas · #2

alexkont έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 12:48 pm
$f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty ) , f(x)<x , \forall x>0$
f συνεχής

i). Νδό

ii). Νδό $\forall a,b>0, a<b, \exists M\epsilon [0,1) :f(x)\leq Mx , \forall x\epsilon [a,b]$

i) $f(x)<x \Rightarrow \lim_{x\to0+}f(x)\leq \lim_{x\to0+}x \Rightarrow f(0)\leq 0$ αλλά $f(x)\geq 0$ άρα f(0)=0

βέβαια το πρώτο βήμα δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο.

Tolaso J Kos · #3

alexkont έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 12:48 pm
$f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty ) , f(x)<x , \forall x>0$
f συνεχής

i). Νδό

ii). Νδό $\forall a,b>0, a<b, \exists M\epsilon [0,1) :f(x)\leq Mx , \forall x\epsilon [a,b]$

(i) Επειδή

συνεχής θα είναι $f(0) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x)$ . Όμως $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \geq 0$ . Συνεπώς $f(0) \geq 0$ . Από την άλλη:

$\displaystyle{f(x)<x \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^+} f(x) \leq \lim_{x \rightarrow 0^+} x =0 \Leftrightarrow f(0) \leq 0}$
Συνεπώς f(0)=0

.

(ii) Μου φαίνεται αρκετά προφανές αυτό. Αλλά, δεν έχω βρει το τρόπο ακόμα να το τεμκηριώσω. Ίδωμεν μόλις επιστρέψω.

revan085 · #4

alexkont έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 12:48 pm
$f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty ) , f(x)<x , \forall x>0$
f συνεχής

i). Νδό

ii). Νδό $\forall a,b>0, a<b, \exists M\epsilon [0,1) :f(x)\leq Mx , \forall x\epsilon [a,b]$

i). Είναι $f(x)<x , \forall x>0\Rightarrow 0\leqslant f(0)=\lim_{x\rightarrow0^{+}} f(x)\leqslant \lim_{x\rightarrow0^{+}}x=0\Rightarrow f(0)=0$

ii). Έστω a , b > 0 με a < b. Θεωρούμε την $g:[a,b]\rightarrow [0,+\infty ]$ με $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ . Προφανώς $0\leqslant g(x)=\frac{f(x)}{x}<1,\forall x\in [a,b]$ . Η g είναι συνεχής στο [a,b] ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων σε αυτό, συνεπώς $\exists x_{M}\in [a,b]:g(x_{M})\geqslant g(x),\forall x\in [a,b]$ . Θέτοντας $M=g(x_{M})$ παίρνουμε το ζητούμενο.

revan085 · #5

sokpanvas έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 1:56 pm

alexkont έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 12:48 pm
$f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty ) , f(x)<x , \forall x>0$
f συνεχής

i). Νδό

ii). Νδό $\forall a,b>0, a<b, \exists M\epsilon [0,1) :f(x)\leq Mx , \forall x\epsilon [a,b]$
i) $f(x)<x \Rightarrow \lim_{x\to0+}f(x)\leq \lim_{x\to0+}x \Rightarrow f(0)\leq 0$ αλλά $f(x)\geq 0$ άρα
βέβαια το πρώτο βήμα δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο.

Σωστός!!! Τότε υποθέτουμε ότι f(0) > 0 που οδηγεί σε άτοπο
Edit: Άκυρο το παραπάνω, βιάστηκα να απαντήσω
Edit2: Έστω f(0) > 0. Τότε για a > 0 , f(a) < a. Εφαρμόζoντας το Θ.Bolzano για την διαφορά της f με την ταυτοτική στο [0,a] παίρνουμε το ζητούμενο.

Christos.N · #6

sokpanvas έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 1:56 pm

βέβαια το πρώτο βήμα δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο.

Μπορείς σε παρακαλώ να μου εξηγήσεις τι εννοείς;

sokpanvas · #7

Christos.N έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 3:16 pm

sokpanvas έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 1:56 pm

βέβαια το πρώτο βήμα δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο.
Μπορείς σε παρακαλώ να μου εξηγήσεις τι εννοείς;

Σελ. 48 " Αν οι συναρτήσεις

,

έχουν όριο στο x_0

και ισχύει $f(x)\leq g(x)$ κοντά στο x_0

, τότε $\lim_{x\to x_0}f(x)\leq\lim_{x\to x_0}g(x)$ "
Στην περίπτωσή μας f(x)

αυστηρά μικρότερο του

.

Christos.N · #8

Μα αν

δεν συνεπάγεται ότι $f(x)\leq g(x)$ ;

revan085 · #9

Christos.N έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 10:38 pm
Μα αν δεν συνεπάγεται ότι $f(x)\leq g(x)$ ;

Το πρόβλημα (που αναφέραμε κάπως άκομψα είναι η αλήθεια

), είναι ότι συχνά ένας μαθητής οδηγείται μόνος του στο λανθασμένο συμπέρασμα ότι η ισότητα στα όρια ισχύει αν και μόνο αν ισχύει και η ισότητα στις συναρτήσεις (κοινώς, μένει με την εντύπωση ότι τα "ίσον πάνε πακέτο") κι ας μην υπάρχει λόγος να οδηγηθεί σε αυτό το συμπέρασμα, αφού το σχολικό βιβλίο δεν γράφει κάτι τέτοιο. Δεν το χωνεύουν εύκολα αυτό οι περισσότεροι μαθητές, κι ας υπάρχει στο τέλος του 1ου Κεφαλαίου ερώτηση Σωστό ή Λάθος πάνω σε αυτό.
Γι' αυτό και αναζητήσαμε μία λύση του (i) χωρίς χρήση της συνεπαγωγής $f(x)<g(x)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)\leq \lim_{x\rightarrow x_{o}}g(x)$

Christos.N · #10

Ας μην κάνουμε τα εύκολα δύσκολα όμως. Η ανισότητα αυτή έχει ήδη διαπραγματευτεί και αναλυθεί σε όλες τις τάξεις του Λυκείου, ακόμα όπως και εσύ αναφέρεις και το βιβλίο της Γ το επαναφέρει το θέμα στις γενικές ασκήσεις . Δεν διαφωνώ με το πνεύμα σου όμως εδώ βρίσκω υπερβολική τη θέση αυτή.

Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

Μέλη σε σύνδεση