Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

alexkont
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Κυρ Απρ 27, 2014 11:10 pm

Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από alexkont » Πέμ Δεκ 13, 2018 12:48 pm

f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty ) , f(x)<x , \forall x>0
f συνεχής

i). Νδό f(0)=0

ii). Νδό \forall a,b>0, a<b, \exists M\epsilon [0,1) :f(x)\leq Mx , \forall x\epsilon [a,b]



Λέξεις Κλειδιά:
sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Πέμ Δεκ 13, 2018 1:56 pm

alexkont έγραψε:
Πέμ Δεκ 13, 2018 12:48 pm
f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty ) , f(x)<x , \forall x>0
f συνεχής

i). Νδό f(0)=0

ii). Νδό \forall a,b>0, a<b, \exists M\epsilon [0,1) :f(x)\leq Mx , \forall x\epsilon [a,b]
i) f(x)<x \Rightarrow \lim_{x\to0+}f(x)\leq \lim_{x\to0+}x \Rightarrow f(0)\leq 0 αλλά f(x)\geq 0 άρα f(0)=0
βέβαια το πρώτο βήμα δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3948
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Δεκ 13, 2018 1:58 pm

alexkont έγραψε:
Πέμ Δεκ 13, 2018 12:48 pm
f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty ) , f(x)<x , \forall x>0
f συνεχής

i). Νδό f(0)=0

ii). Νδό \forall a,b>0, a<b, \exists M\epsilon [0,1) :f(x)\leq Mx , \forall x\epsilon [a,b]

(i) Επειδή f συνεχής θα είναι f(0) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x). Όμως f(x) \geq 0 για κάθε x \geq 0. Συνεπώς f(0) \geq 0. Από την άλλη:

\displaystyle{f(x)<x \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^+} f(x) \leq \lim_{x \rightarrow 0^+} x =0 \Leftrightarrow f(0) \leq 0}
Συνεπώς f(0)=0.


(ii) Μου φαίνεται αρκετά προφανές αυτό. Αλλά, δεν έχω βρει το τρόπο ακόμα να το τεμκηριώσω. Ίδωμεν μόλις επιστρέψω.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
revan085
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Ιουν 09, 2017 11:10 pm

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από revan085 » Πέμ Δεκ 13, 2018 2:20 pm

alexkont έγραψε:
Πέμ Δεκ 13, 2018 12:48 pm
f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty ) , f(x)<x , \forall x>0
f συνεχής

i). Νδό f(0)=0

ii). Νδό \forall a,b>0, a<b, \exists M\epsilon [0,1) :f(x)\leq Mx , \forall x\epsilon [a,b]
i). Είναι f(x)<x , \forall x>0\Rightarrow 0\leqslant f(0)=\lim_{x\rightarrow0^{+}} f(x)\leqslant \lim_{x\rightarrow0^{+}}x=0\Rightarrow f(0)=0

ii). Έστω a , b > 0 με a < b. Θεωρούμε την g:[a,b]\rightarrow [0,+\infty ] με g(x)=\frac{f(x)}{x}. Προφανώς 0\leqslant g(x)=\frac{f(x)}{x}<1,\forall x\in [a,b]. Η g είναι συνεχής στο [a,b] ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων σε αυτό, συνεπώς \exists x_{M}\in [a,b]:g(x_{M})\geqslant g(x),\forall x\in [a,b]. Θέτοντας M=g(x_{M}) παίρνουμε το ζητούμενο.


revan085
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Ιουν 09, 2017 11:10 pm

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από revan085 » Πέμ Δεκ 13, 2018 2:27 pm

sokpanvas έγραψε:
Πέμ Δεκ 13, 2018 1:56 pm
alexkont έγραψε:
Πέμ Δεκ 13, 2018 12:48 pm
f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty ) , f(x)<x , \forall x>0
f συνεχής

i). Νδό f(0)=0

ii). Νδό \forall a,b>0, a<b, \exists M\epsilon [0,1) :f(x)\leq Mx , \forall x\epsilon [a,b]
i) f(x)<x \Rightarrow \lim_{x\to0+}f(x)\leq \lim_{x\to0+}x \Rightarrow f(0)\leq 0 αλλά f(x)\geq 0 άρα f(0)=0
βέβαια το πρώτο βήμα δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο.
Σωστός!!! Τότε υποθέτουμε ότι f(0) > 0 που οδηγεί σε άτοπο
Edit: Άκυρο το παραπάνω, βιάστηκα να απαντήσω
Edit2: Έστω f(0) > 0. Τότε για a > 0 , f(a) < a. Εφαρμόζoντας το Θ.Bolzano για την διαφορά της f με την ταυτοτική στο [0,a] παίρνουμε το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1664
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Δεκ 13, 2018 3:16 pm

sokpanvas έγραψε:
Πέμ Δεκ 13, 2018 1:56 pm

βέβαια το πρώτο βήμα δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο.
Μπορείς σε παρακαλώ να μου εξηγήσεις τι εννοείς;


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Πέμ Δεκ 13, 2018 4:04 pm

Christos.N έγραψε:
Πέμ Δεκ 13, 2018 3:16 pm
sokpanvas έγραψε:
Πέμ Δεκ 13, 2018 1:56 pm

βέβαια το πρώτο βήμα δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο.
Μπορείς σε παρακαλώ να μου εξηγήσεις τι εννοείς;
Σελ. 48 " Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο x_0 και ισχύει f(x)\leq g(x) κοντά στο x_0, τότε \lim_{x\to x_0}f(x)\leq\lim_{x\to x_0}g(x)"
Στην περίπτωσή μας f(x) αυστηρά μικρότερο του x.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1664
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Δεκ 13, 2018 10:38 pm

Μα αν f(x)<g(x) δεν συνεπάγεται ότι f(x)\leq g(x);


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
revan085
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Ιουν 09, 2017 11:10 pm

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από revan085 » Πέμ Δεκ 13, 2018 11:45 pm

Christos.N έγραψε:
Πέμ Δεκ 13, 2018 10:38 pm
Μα αν f(x)<g(x) δεν συνεπάγεται ότι f(x)\leq g(x);
Το πρόβλημα (που αναφέραμε κάπως άκομψα είναι η αλήθεια :roll: ), είναι ότι συχνά ένας μαθητής οδηγείται μόνος του στο λανθασμένο συμπέρασμα ότι η ισότητα στα όρια ισχύει αν και μόνο αν ισχύει και η ισότητα στις συναρτήσεις (κοινώς, μένει με την εντύπωση ότι τα "ίσον πάνε πακέτο") κι ας μην υπάρχει λόγος να οδηγηθεί σε αυτό το συμπέρασμα, αφού το σχολικό βιβλίο δεν γράφει κάτι τέτοιο. Δεν το χωνεύουν εύκολα αυτό οι περισσότεροι μαθητές, κι ας υπάρχει στο τέλος του 1ου Κεφαλαίου ερώτηση Σωστό ή Λάθος πάνω σε αυτό.
Γι' αυτό και αναζητήσαμε μία λύση του (i) χωρίς χρήση της συνεπαγωγής f(x)<g(x)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)\leq \lim_{x\rightarrow x_{o}}g(x)


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1664
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Άσκηση σε ΘΕΤ/ΘΜΕΤ #2

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Δεκ 14, 2018 12:06 am

Ας μην κάνουμε τα εύκολα δύσκολα όμως. Η ανισότητα αυτή έχει ήδη διαπραγματευτεί και αναλυθεί σε όλες τις τάξεις του Λυκείου, ακόμα όπως και εσύ αναφέρεις και το βιβλίο της Γ το επαναφέρει το θέμα στις γενικές ασκήσεις . Δεν διαφωνώ με το πνεύμα σου όμως εδώ βρίσκω υπερβολική τη θέση αυτή.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες