Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11907
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 12, 2018 9:38 pm

Αν η f:\mathbb R \to \mathbb R συνεχής συνάρτηση χωρίς ρίζες, δείξτε ότι η εξίσωση

f(f(f(x)))+f(f(x))+f(x)=0 είναι αδύνατη.

Ισχύει το ίδιο αν η f δεν είναι συνεχής;

Ας την αφήσουμε στους μαθητές μας για 24 ώρες.
Λύνεται σε μια δυο γραμμές, αν την δεις σωστά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Τρί Νοέμ 13, 2018 12:43 pm

Επειδή η f είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο \mathbb{R}, διατηρεί πρόσημο σε αυτό. Οπότε f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R} ή f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}. Τότε όμως, θα ισχύει αντίστοιχα: f\left(f\left(x\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R} ή f\left(f\left(x\right)\right)<0, \forall x\in\mathbb{R} και f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R} ή f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}. Άρα, f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)+f\left(f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R} ή f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)+f\left(f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}, δηλαδή η δεδομένη εξίσωση είναι αδύνατη.


The road to success is always under construction
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11907
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 13, 2018 12:48 pm

nikos_el έγραψε:
Τρί Νοέμ 13, 2018 12:43 pm
Επειδή η f είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο \mathbb{R}, διατηρεί πρόσημο σε αυτό. Οπότε f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R} ή f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}. Τότε όμως, θα ισχύει αντίστοιχα: f\left(f\left(x\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R} ή f\left(f\left(x\right)\right)<0, \forall x\in\mathbb{R} και f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R} ή f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}. Άρα, f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)+f\left(f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R} ή f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)+f\left(f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}, δηλαδή η δεδομένη εξίσωση είναι αδύνατη.
:10sta10:

Αυτό είχα κατά νου.

Μένει η περίπτωση που η f δεν είναι συνεχής.


sot arm
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τρί Νοέμ 13, 2018 2:03 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Νοέμ 13, 2018 12:48 pm
nikos_el έγραψε:
Τρί Νοέμ 13, 2018 12:43 pm
Επειδή η f είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο \mathbb{R}, διατηρεί πρόσημο σε αυτό. Οπότε f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R} ή f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}. Τότε όμως, θα ισχύει αντίστοιχα: f\left(f\left(x\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R} ή f\left(f\left(x\right)\right)<0, \forall x\in\mathbb{R} και f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R} ή f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}. Άρα, f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)+f\left(f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R} ή f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)+f\left(f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}, δηλαδή η δεδομένη εξίσωση είναι αδύνατη.
:10sta10:

Αυτό είχα κατά νου.

Μένει η περίπτωση που η f δεν είναι συνεχής.
Τότε η εξίσωση έχει λύσεις, σαν παράδειγμα μπορώ να πάρω:
\displaystyle{f(x)=\frac{1}{2} , x\leq  0  \wedge f(x)=-1 , x>0}
Τότε είναι προφανές ότι οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός είναι λύση.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης