Συνεχής στο α , συνεχής στο R

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Συνεχής στο α , συνεχής στο R

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Νοέμ 09, 2018 9:59 pm

Έστω \displaystyle f,g:R\to R όπου η \displaystyle \,\,g είναι \displaystyle \,1-1 με \displaystyle g(R)=R\, και \displaystyle f(x+g(y))=f(x)f(g(y)) για κάθε \displaystyle x,y\in R.
Αν η \displaystyle f είναι συνεχής στο \displaystyle a\in R\,,να δείξετε ότι είναι συνεχής σε όλο το \displaystyle \,\,R .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3236
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνεχής στο α , συνεχής στο R

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Νοέμ 09, 2018 10:43 pm

exdx έγραψε:
Παρ Νοέμ 09, 2018 9:59 pm
Έστω \displaystyle f,g:R\to R όπου η \displaystyle \,\,g είναι \displaystyle \,1-1 με \displaystyle g(R)=R\, και \displaystyle f(x+g(y))=f(x)f(g(y)) για κάθε \displaystyle x,y\in R.
Αν η \displaystyle f είναι συνεχής στο \displaystyle a\in R\,,να δείξετε ότι είναι συνεχής σε όλο το \displaystyle \,\,R .
Δεν χρειάζεται ότι η g είναι 1-1.

Εστω t\in \mathbb{R}

Αφου \displaystyle g(R)=R\, υπάρχει y\in \mathbb{R}

ώστε g(y)=t

Αρα f(x+t)=f(x)f(t) για κάθε  x,t\in R.

Εστω  c\in R.

Τότε \lim_{x\rightarrow c+a}f(x)=\lim_{t\rightarrow a}f(c+t)=\lim_{t\rightarrow a}f(c)f(t)=

f(c)\lim_{t\rightarrow a}f(t)=f(c)f(a)=f(c+a)

οπου έγινε αλλαγή μεταβλητής και χρησιμοποιήθηκε η συνέχεια στο a

Αρα για κάθε  c\in R η f είναι συνεχής στο c+a .

Και επειδή κάθε πραγματικός μπορεί να γραφεί στην μορφή c+a είναι συνεχής παντού.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12519
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνεχής στο α , συνεχής στο R

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 09, 2018 10:57 pm

Να την βελτιώσουμε: Δείξτε ότι είτε για κάθε x είναι f(x)=0  ή υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε x είναι f(x)=e^{cx} .


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2237
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής στο α , συνεχής στο R

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:09 pm

Πριν Ο Σταύρος έδειξε

\displaystyle{f(x+t)=f(x)f(t)} άρα \displaystyle{f(x)=f(x/2)f(x/2)=f^2(x/2)\ge 0}

Αν υπάρχει \displaystyle{r:f(r)=0} τότε \displaystyle{f(x)=f(x-r+r)=f(x-r)f(r)=0,\forall x\in R}

Αν η \displaystyle{f} δεν έχει καμιά ριζα τότε \displaystyle{f(x)>0,x\in R} οπότε θέτω \displaystyle{g(x)=ln f(x)} και έτσι \displaystyle{g(x+t)=g(x)+g(t),x,t\in R} που είναι η συναρτησιακή του Cauchy και έχει μελετηθεί εκτενώς πχ στον Εκθέτη του Ν.Μαυρογιάννη


Αν η f είναι συνεχής στο α τότε είναι συνεχής παντού άρα και η g με \displaystyle{g(x)=kx} άρα \displaystyle{f(x)=e^{kx}=A^x , A>0,x\in R}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 3 επισκέπτες