Bolzano
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Bolzano
Δίνονται οι συναρτήσεις , με
και .
Να αποδείξετε ότι :
i. υπάρχει τέτοιο, ώστε .
ii. υπάρχει τέτοιο, ώστε .
iii. υπάρχει τέτοιο, ώστε .
και .
Να αποδείξετε ότι :
i. υπάρχει τέτοιο, ώστε .
ii. υπάρχει τέτοιο, ώστε .
iii. υπάρχει τέτοιο, ώστε .
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Bolzano
Οι συναρτήσεις είναι συνεχείς ως πολυωνυμικές συναρτήσεις
(i) H είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα με και , άρα σύμφωνα με το θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα
(ii) H είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα με και , άρα σύμφωνα με το θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα
(iii) Η δοθείσα θεωρώντας την ισοδύναμη συνάρτηση οδηγεί στην εύρεση ρίζας εντός του διαστήματος της συνεχούς ως πολυωνυμικής , με τύπο
Εύκολα βλέπουμε ότι και αφού η για ως άθροισμα αρνητικών ποσοτήτων , αναζητούμε το πρόσήμο της για όπου καθώς . H με , τότε
άρα σύμφωνα με το θ. Bolzano υπάρχει
Σημείωση: αφήνω τις παραγοντοποιήσεις αφενός γιατί διευκολύνουν τους υπολογίσμούς . Θέλω να σας πω ότι προσπάθησα μέσω αυτών να αποδείξω το πρόσημο της αλλά δεν είχα σαφαλή συμπεράσματα. Τώρα αν κάποιος έχει ιδέα για το αν θα βοηθήσουν με χαρά μου να τη δω. Ευχαριστώ
(i) H είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα με και , άρα σύμφωνα με το θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα
(ii) H είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα με και , άρα σύμφωνα με το θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα
(iii) Η δοθείσα θεωρώντας την ισοδύναμη συνάρτηση οδηγεί στην εύρεση ρίζας εντός του διαστήματος της συνεχούς ως πολυωνυμικής , με τύπο
Εύκολα βλέπουμε ότι και αφού η για ως άθροισμα αρνητικών ποσοτήτων , αναζητούμε το πρόσήμο της για όπου καθώς . H με , τότε
άρα σύμφωνα με το θ. Bolzano υπάρχει
Σημείωση: αφήνω τις παραγοντοποιήσεις αφενός γιατί διευκολύνουν τους υπολογίσμούς . Θέλω να σας πω ότι προσπάθησα μέσω αυτών να αποδείξω το πρόσημο της αλλά δεν είχα σαφαλή συμπεράσματα. Τώρα αν κάποιος έχει ιδέα για το αν θα βοηθήσουν με χαρά μου να τη δω. Ευχαριστώ
Re: Bolzano
το ΘΒ δίνει
το ΘΒ δίνει
αρα υπάρχουν με ΘΒ το ζητούμενο
Συμπλήρωση
άρα θα δείξω ότι η
Αν τοτε συνεπώς Άτοπο αφού
Τότε Η βρίσκεται άνωθεν της εφαπτομένης στο που έχει θετικές τεταγμένες για άρα
Ανάλογα κοντά στο
το ΘΒ δίνει
αρα υπάρχουν με ΘΒ το ζητούμενο
Συμπλήρωση
άρα θα δείξω ότι η
Αν τοτε συνεπώς Άτοπο αφού
Τότε Η βρίσκεται άνωθεν της εφαπτομένης στο που έχει θετικές τεταγμένες για άρα
Ανάλογα κοντά στο
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Δευ Νοέμ 12, 2018 5:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Bolzano
Εναλλακτικά, για το iii,
αφού εφαρμόσουμε το θεώρημα του Bolzano για τη συνάρτηση στο διάστημα (αρκετά εύκολο αυτό), υπάρχει λοιπόν , ώστε , υποθέτουμε ότι , άρα και , που καταλήγει σε άτοπο.
Διαιρώντας με , παίρνουμε το ζητούμενο.
αφού εφαρμόσουμε το θεώρημα του Bolzano για τη συνάρτηση στο διάστημα (αρκετά εύκολο αυτό), υπάρχει λοιπόν , ώστε , υποθέτουμε ότι , άρα και , που καταλήγει σε άτοπο.
Διαιρώντας με , παίρνουμε το ζητούμενο.
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες