Bolzano

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 895
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Bolzano

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τετ Νοέμ 07, 2018 2:37 pm

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:R \rightarrow R, με
f(x)=x^{5}-8x^{2}+1 και g(x)=x^{3}-5x-9.

Να αποδείξετε ότι :

i. υπάρχει x_{1} \in (1,2) τέτοιο, ώστε f(x_{1})=0.

ii. υπάρχει x_{2} \in (2,3) τέτοιο, ώστε g(x_{2})=0.

iii. υπάρχει x_{3} \in (x_{1},x_{2}) τέτοιο, ώστε \frac{1}{f(x_{3})}+ \frac{1}{g(x_{3})}=0.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com

Λέξεις Κλειδιά:
Ratio
Δημοσιεύσεις: 151
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Bolzano

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Νοέμ 08, 2018 10:06 am

Οι συναρτήσεις  f(x),g(x) είναι συνεχείς ως πολυωνυμικές συναρτήσεις
 f(x)=x^{5}-8x^{2}+1=x^{2}(x^{3}-8)+1
g(x)=x^{3}-5x-9=(x^{3}-8)-(5x+1)

(i) H f(x) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [1,2] με  f(1)=-6 και  f(2)= 1 , άρα σύμφωνα με το θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x_{1} \in (1,2) : f(x_{1})=0

(ii) H g(x) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [2,3] με  g(2)=-11 και  g(3)= 3 , άρα σύμφωνα με το θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x_{2} \in (2,3) : g(x_{2})=0

(iii) Η δοθείσα θεωρώντας την ισοδύναμη συνάρτηση h(x)=\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{g(x)}=\frac{f(x)+g(x)}{f(x)g(x)} οδηγεί στην εύρεση ρίζας εντός του διαστήματος (x_{1},x_{2}) της συνεχούς ως πολυωνυμικής  p(x)=f(x)+g(x) , με τύπο p(x)=f(x)+g(x) =(x^{3}-8)(x^{2}+1)-5x

Εύκολα βλέπουμε ότι p(2)=-10 και αφού η p(x)=(x-2)(x^{2}+2x+4)(x^{2}+1)-5x <0 για  x\in(x_{1},2) ως άθροισμα αρνητικών ποσοτήτων , αναζητούμε το πρόσήμο της για  x=x_{2} όπου  p(x_{2})=f(x_{2})+g(x_{2}) = f(x_{2}) καθώς g(x_{2})=0 . H  f(x) \uparrow με  x_{1}<x_{2} , τότε f(x_{1})<f(x_{2}) \Leftrightarrow f(x_{2})=p(x_{2})>0
άρα σύμφωνα με το θ. Bolzano υπάρχει x_{3} \in (2,x_{2})\subset (x_{1},x_{2}) : p(x_{3})=0


Σημείωση: αφήνω τις παραγοντοποιήσεις αφενός γιατί διευκολύνουν τους υπολογίσμούς . Θέλω να σας πω ότι προσπάθησα μέσω αυτών να αποδείξω το πρόσημο της  p(x), x>2 αλλά δεν είχα σαφαλή συμπεράσματα. Τώρα αν κάποιος έχει ιδέα για το αν θα βοηθήσουν με χαρά μου να τη δω. Ευχαριστώ


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2098
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Bolzano

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Νοέμ 08, 2018 10:15 am

\displaystyle{f(1)<0,f(2)>0} το ΘΒ δίνει \displaystyle{f(x_1)=0,x_1\in (1,2)}

\displaystyle{g(2)<0,g(3)>0} το ΘΒ δίνει \displaystyle{g(x_2)=0,x_2\in (2,3)}

\displaystyle{\lim_{x\to x_1+}{\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{g(x)}}=\infty}

\displaystyle{\lim_{x\to x_2-}{\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{g(x)}}=-\infty}

αρα υπάρχουν \displaystyle{x_3,x_4\in (x_1,x_2):\frac{1}{f(x_4)}+\frac{1}{g(x_4)}<0,\frac{1}{f(x_3)}+\frac{1}{g(x_3)}>0}} με ΘΒ το ζητούμενο

Συμπλήρωση
\displaystyle{f''(x)=20x^3-16>0 , 1<x<3} άρα\displaystyle{f'\uparrow} θα δείξω ότι \displaystyle{f'(x_1)>0} η \displaystyle{x^3_1>16/5}

Αν \displaystyle{x^3_1\le 16/5} τοτε \displaystyle{0=x^5_1-8x^2_1+1<-24/5x^2_1+1}συνεπώς \displaystyle{x^2_1<5/24<1} Άτοπο αφού \displaystyle{1<x_1<2}

Τότε Η \displaystyle{C_f} βρίσκεται άνωθεν της εφαπτομένης στο \displaystyle{x_1} που έχει θετικές τεταγμένες για \displaystyle{x>x_1} άρα \displaystyle{f(x)>0}

Ανάλογα κοντά στο \displaystyle{x_2}
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Δευ Νοέμ 12, 2018 5:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 895
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Bolzano

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Δευ Νοέμ 12, 2018 11:38 am

Εναλλακτικά, για το iii,
αφού εφαρμόσουμε το θεώρημα του Bolzano για τη συνάρτηση p(x)=f(x)+g(x) στο διάστημα [x_{1},x_{2}] (αρκετά εύκολο αυτό), υπάρχει λοιπόν x_{3} \in (x_{1},x_{2}), ώστε f(x_{3})+g(x_{3})=0, υποθέτουμε ότι f(x_{3})=0, άρα και g(x_{3})=0, που καταλήγει σε άτοπο.
Διαιρώντας με f(x_{3})g(x_{3}), παίρνουμε το ζητούμενο.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Λάμπρος Κατσάπας και 2 επισκέπτες