Οριο

Nikos002 · #1

Αν

και

για κάθε $x\in R$ και limf(x)=limg(x)= 0

Να υπολογίσετε το : $lim\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$
Έγραψα ως Χ την f( x) και y την g(x) , για x τείνει σε ένα χο και τα δύο όρια .Έχω προσπαθήσει αρκετά και το φτάνω μέχρι ένα σημείο και μετά δεν μπορώ να το συνεχίσω καμία βοήθεια ?

Tolaso J Kos · #2

Ωραία όλα αυτά αλλά το

που τείνει ; Υποθέτω στο $+\infty$ ;

Nikos002 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 4:10 pm
Αν και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ και $\lim f(x)= \lim g(x)= 0$

Να υπολογίσετε το : $\lim \dfrac{f^2(x)+g^2(x)}{f(x)+g(x)}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 4:19 pm
Ωραία όλα αυτά αλλά το που τείνει ; Υποθέτω στο $+\infty$ ;

Nikos002 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 4:10 pm
Αν και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ και $\lim f(x)= \lim g(x)= 0$

Να υπολογίσετε το : $\lim \dfrac{f^2(x)+g^2(x)}{f(x)+g(x)}$

Δεν παίζει ρόλο που τείνει το

.

Οπου και να τείνει η απόδειξη είναι ίδια(την αφήνω στους νεότερους).

Βέβαια πρέπει να το βάλουμε να τείνει κάπου.

perpant · #4

Είναι $\left| {\frac{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}} \right| \le \left| {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right|$ και με Κ.Π. προκύπτει $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}} = 0$ , όπου

πραγματικός ή άπειρο.

Οπότε $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\frac{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}}} = + \infty$

(είναι $\frac{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}} > 0$ )

Επεξεργασία: Προφανώς το κλάσμα στο όριο στον τελευταίο παρονομαστή είναι αντίστροφα.
Επεξεργασία: Κοντά στο ${x_0}$ είναι $0 < {f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right) < 1$ , οπότε η σχέση $\left| {\frac{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}} \right| < \left| {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right|$ είναι λανθασμένη, όπως επισημαίνει ο Λάμπρος στο παρακάτω σχόλιο.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Nikos002 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 4:10 pm
Αν και για κάθε $x\in R$ και

Να υπολογίσετε το : $lim\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$
Έγραψα ως Χ την f( x) και y την g(x) , για x τείνει σε ένα χο και τα δύο όρια .Έχω προσπαθήσει αρκετά και το φτάνω μέχρι ένα σημείο και μετά δεν μπορώ να το συνεχίσω καμία βοήθεια ?

$\displaystyle{ \frac{f^2(x)+g^2(x)}{f(x)+g(x)}= \frac{f^2(x)}{f(x)+g(x)}+ \frac{g^2(x)}{f(x)+g(x)}\leq \frac{f^2(x)}{f(x)}+ \frac{g^2(x)}{g(x)}=f(x)+g(x)\rightarrow 0 }$

Λάμπρος Κατσάπας · #6

perpant έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 5:07 pm

Οπότε $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\frac{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}}} = + \infty$

Δεν είναι φυσιολογικό το αποτέλεσμα. Κοντά στο x_0

θα είναι $f^2(x)<f(x),g^2(x)<g(x)\Rightarrow f^2(x)+g^2(x)<f(x)+g(x)\Rightarrow \frac{f^2(x)+g^2(x)}{f(x)+g(x)}<1$

Nikos002 · #7

Πώς γίνεται να βγαίνει άπειρο , είναι άσκηση από το σχολειο στην κατηγορία 0/0

#8

Nikos002 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 9:55 pm
Πώς γίνεται να βγαίνει άπειρο , είναι άσκηση από το σχολειο στην κατηγορία 0/0

Νίκο,

Το όριο ίσον άπειρο που γράφει ο Περικλής (perpant) παραπάνω είναι λογιστικό σφάλμα. Προφανώς εκ παραδρομής το κλάσμα έχει γραφτεί
ανάποδα, αλλά η ουσία του συλλογισμού είναι σωστή.

Γράφω όμως για άλλο λόγο: Ας επισημάνω ότι στην κατηγορία 0/0

θα μπορούσε κάλλιστα το όριο να είναι συν άπειρο. Μπορείς να δώσεις εδώ ένα παράδειγμα; Σκέψου το. Αλλιώς θα σου δώσουμε εμείς ένα.

Nikos002 · #9

Τελικά το όριο ισούται με πόσο ? Μήπως μπορείτε να αναφέρεται ένα τέτοιο όριο το οποίο είναι 0/0 και βγάζει άπειρο ,ωστόσο το Χ τείνει σε αριθμό ή στο άπειρο ?

#10

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 4:29 pm
Δεν παίζει ρόλο που τείνει το .
Οπου και να τείνει η απόδειξη είναι ίδια(την αφήνω στους νεότερους).

Nikos002 έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 22, 2018 10:08 pm
Τελικά το όριο ισούται με πόσο ?

Αφού οι νεότεροι δεν ανταποκρίθηκαν (ίσως περίμεναν ακόμα νεότερους), δίνω μια απάντηση από το σημείο που την άφησε ο Λάμπρος.

Για $\displaystyle f\left( x \right) > 0\;\;\; \wedge \;\;\;g\left( x \right) > 0$ είναι

$\displaystyle \frac{{{f^2}(x) + {g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} = \frac{{{f^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} + \frac{{{g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} < \frac{{{f^2}(x)}}{{f(x)}} + \frac{{{g^2}(x)}}{{g(x)}} = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ ,

οπότε $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f^2}(x) + {g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} \le \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = 0$

Επίσης $\displaystyle \frac{{{f^2}(x) + {g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} > 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f^2}(x) + {g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} \ge 0$

Άρα $\displaystyle 0 \le \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f^2}(x) + {g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} \le 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f^2}(x) + {g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} = 0$ .

Nikos002 έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 22, 2018 10:08 pm

Μήπως μπορείτε να αναφέρετε ένα τέτοιο όριο το οποίο είναι 0/0 και βγάζει άπειρο ,ωστόσο το Χ τείνει σε αριθμό ή στο άπειρο ?

Νομίζω υπάρχουν άπειρα παραδείγματα, όπως π.χ. $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x}}}{{{x^2}}} = + \infty$ , $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = + \infty$

Nikos002 · #11

Ναι για Χ τείνει στο άπειρο γνωρίζω και εγώ απλός δεν είμαστε ακόμα εκεί στο σχολείο ούτε καν τα πεπερασμένα δεν έχουμε κάνει για αυτό παρεξενευτηκα που έβγαινε άπειρο στην πρτη περίπτωση .Θα μπορούσε να υπάρξει πιο αλγεβρική λύση δηλαδή χωρίς Κ.Π , εγώ το προσπάθησα συμπληρώνοντας τετράγωνο και εσπασα το κλάσμα και έφτανα σε καλό σημείο αλλά πάντα μου έμενε το άθροισμα στον παρονομαστη

#12

Nikos002 έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 22, 2018 10:08 pm
Μήπως μπορείτε να αναφέρεται ένα τέτοιο όριο το οποίο είναι 0/0 και βγάζει άπειρο ,ωστόσο το Χ τείνει σε αριθμό ή στο άπειρο ?

Αυτά που είχα κατά νου είναι

α) Για

τείνει σε αριθμό, το $\displaystyle{\lim _{x\to 0}\dfrac {x^2}{x^4}}$

β) Για

τείνει στο άπειρο, το $\displaystyle{\lim _{x\to +\infty }\dfrac {\dfrac {1}{x}}{\dfrac {1}{x^2}}}$

Nikos002 · #13

Μήπως μπορείτε να μου εξηγήσετε πως προέκυψε η πρώτη ανισότητα διότι δεν είμαι εντελώς σίγουρος

#14

Nikos002 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 23, 2018 1:00 pm
Μήπως μπορείτε να μου εξηγήσετε πως προέκυψε η πρώτη ανισότητα διότι δεν είμαι εντελώς σίγουρος

Σε ποιον απευθύνεσαι; Γράψε μας τον αύξοντα αριθμό του ποστ. Θα τον βρεις στην αρχή της δεύτερης γραμμής, αμέσως
από κάτω από τον τίτλο, στο εν λόγω ποστ.

Nikos002 · #15

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 12#p303612
Δεν είμαι εντελώς σίγουρος το πώς προκύπτει η 1η ανισότητα

Nikos002 · #16

Αναφερομαι στην απάντηση του κυριου Γιώργου Ρίζου και συγκεκριμένα την πρώτη ανισότητα εκεί που σπάει τα κλάσματα δεν είμαι σίγουρος για το πώς προκύπτει η εν λόγω ανισότητα

#17

Τη μέθοδο περιέγραψε ο Λάμπρος λίγο παραπάνω.

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 6:39 pm

$\displaystyle{ \frac{f^2(x)+g^2(x)}{f(x)+g(x)}= \frac{f^2(x)}{f(x)+g(x)}+ \frac{g^2(x)}{f(x)+g(x)}\leq \frac{f^2(x)}{f(x)}+ \frac{g^2(x)}{g(x)}=f(x)+g(x)\rightarrow 0 }$

Μικραίνει ο παρονομαστής, αφού αφαιρούμε θετική ποσότητα, μένει ίδιος ο αριθμητής, άρα μεγαλώνει το κλάσμα.

Nikos002 · #18

Σας ευχαριστώ πολύ

Οριο

Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Μέλη σε σύνδεση