πλευρικά όρια και ανίσωση

charalamposkaralis · #1

συνάντησα την παρακάτω άσκηση

δίνεται συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $(x-1) f(x) \geq \sqrt{x^2+3} - 2, \forall x \in \mathbb{R}$

να βρεθούν τα πλευρικά όρια της συνάρτησης στο σημείο

αν συνεχής στο $\mathbb{R}$ βρείτε την τιμή της στο

να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον
άξονα των τουλάχιστον φορά μια φορά στο διάστημα

Πραγματικά δεν έχω ιδέα πως θα μπορούσαμε να τα υπολογίσουμε τα πλευρικά όρια. γνωρίζει κάποιος την λύση; ευχαριστώ

*edit* : έδωσα ολόκληρη την εκφώνηση της άσκησης

sot arm · #2

charalamposkaralis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 13, 2018 6:31 pm
συνάντησα την παρακάτω άσκηση

δίνεται συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $(x-1) f(x) \geq \sqrt{x^2+3} - 2, \forall x \in \mathbb{R}$

να βρεθούν τα πλευρικά όρια της συναρτησης στο σημείο

Πραγματικά δεν έχω ιδέα πως θα μπορούσαμε να τα υπολογίσουμε. γνωρίζει κάποιος την λύση; ευχαριστώ

Καλησπέρα, είσαι σίγουρος πως έτσι είναι ακριβώς η εκφώνηση της άσκησης;
Γιατί έτσι δεν μπορούμε να αποφανθούμε τίποτα για τα πλευρικά, πρέπει να λείπει ένα "συνεχής" από κάπου.

charalamposkaralis · #3

αυτό είναι το πρώτο ερώτημα,
σε άλλο ερώτημα παρακάτω δίνει επιπλέον ότι η συνάρτηση είναι συνεχής (κάποια στιγμή θα δώσω όλη την εκφώνηση)

Ακόμα και με την υπόθεση της συνέχειας δεν ξέρω πώς θα λύνονταν..

sot arm · #4

Ωραία, αυτό ξεκαθαρίζει τα πράγματα, σκέψου τα εξής:
1) ότι είναι συνεχής τί σου λέει για τα πλευρικά όρια;
2) Σκέψου ποια εργαλεία έχεις αναπτύξει μέχρι στιγμής για υπολογισμό ορίων, ποιό από αυτά σε βοηθά στην προκειμένη περίπτωση;

Δούλεψε την, γράψε τι έχεις προσπαθήσει και τα ξαναλέμε.

Ratio · #5

Δεν είναι καλύτερα να δοθεί όλη η εκφώνηση;

charalamposkaralis · #6

sot arm έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 13, 2018 10:03 pm
Ωραία, αυτό ξεκαθαρίζει τα πράγματα, σκέψου τα εξής:
1) ότι είναι συνεχής τί σου λέει για τα πλευρικά όρια;
2) Σκέψου ποια εργαλεία έχεις αναπτύξει μέχρι στιγμής για υπολογισμό ορίων, ποιό από αυτά σε βοηθά στην προκειμένη περίπτωση;

Δούλεψε την, γράψε τι έχεις προσπαθήσει και τα ξαναλέμε.

δεν ήμουν αρκετά ξεκάθαρος. σύμφωνα με αυτό που είδα, δεν έχουμε την συνέχεια της

σχετικά με την λύση

για είναι $f(x) \leq \dfrac{\sqrt{x^2 +3}-2}{x-1}=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2 +3}+2}$

όμοια για είναι $f(x) \geq \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2 +3}+2}$

και άρα έχουμε ότι $\displaystyle{ \lim_{x \to 1^-} {f(x)} \leq \frac{1}{2} }$ και $\displaystyle{ \lim_{x \to 1^+} {f(x)} \geq \frac{1}{2} }$

η συνέχεια θα έδινε ότι τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίσα και από τις παραπάνω ανισότητες θα έβγαινε ότι είναι ίσα με $\frac{1}{2}$ , αλλά χωρίς την συνέχεια δεν ξέρω καν πως να επιχειρηματολογήσω για την ύπαρξη, ακόμα, των πλευρικών ορίων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

charalamposkaralis έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 14, 2018 6:39 pm

sot arm έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 13, 2018 10:03 pm
Ωραία, αυτό ξεκαθαρίζει τα πράγματα, σκέψου τα εξής:
1) ότι είναι συνεχής τί σου λέει για τα πλευρικά όρια;
2) Σκέψου ποια εργαλεία έχεις αναπτύξει μέχρι στιγμής για υπολογισμό ορίων, ποιό από αυτά σε βοηθά στην προκειμένη περίπτωση;

Δούλεψε την, γράψε τι έχεις προσπαθήσει και τα ξαναλέμε.
δεν ήμουν αρκετά ξεκάθαρος. σύμφωνα με αυτό που είδα, δεν έχουμε την συνέχεια της

σχετικά με την λύση
για είναι $f(x) \leq \dfrac{\sqrt{x^2 +3}-2}{x-1}=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2 +3}+2}$

όμοια για είναι $f(x) \geq \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2 +3}+2}$

και άρα έχουμε ότι $\displaystyle{ \lim_{x \to 1^-} {f(x)} \leq \frac{1}{2} }$ και $\displaystyle{ \lim_{x \to 1^+} {f(x)} \geq \frac{1}{2} }$

η συνέχεια θα έδινε ότι τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίσα και από τις παραπάνω ανισότητες θα έβγαινε ότι είναι ίσα με $\frac{1}{2}$ , αλλά χωρίς την συνέχεια δεν ξέρω καν πως να επιχειρηματολογήσω για την ύπαρξη, ακόμα, των πλευρικών ορίων

Από τα δεδομένα δεν μπορείς να αποδείξεις ότι τα πλευρικά όρια υπάρχουν.

Θα μπορούσε να ήταν

$f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 +3}-2}{x-1}+\frac{1}{x-1}\left | \sin \frac{1}{x-1} \right |,x\neq 1$

και f(1)=10

(το

το έβαλα στην τύχη).

Σε αυτή την περίπτωση τα πλευρικά όρια δεν υπάρχουν.

πλευρικά όρια και ανίσωση

πλευρικά όρια και ανίσωση

Re: πλευρικά όρια και ανίσωση

Re: πλευρικά όρια και ανίσωση

Re: πλευρικά όρια και ανίσωση

Re: πλευρικά όρια και ανίσωση

Re: πλευρικά όρια και ανίσωση

Re: πλευρικά όρια και ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση