Μονοτονία χωρίς παραγώγους

ann79 · #1

Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση $f(x)=ln(\frac{x}{1-x})-x, x\epsilon (0,1)$ χωρίς τη χρήση παραγώγων.

Αλλαγή στον τύπο της συνάρτησης έπειτα π.μ του κ.Κακκαβά και το σχόλιο του κ.Παπαδόπουλου, τους οποίους και ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

ann79 έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 23, 2018 1:15 pm
Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση $f(x)=ln(\frac{x}{x-1})-x, x\epsilon (0,1)$ χωρίς τη χρήση παραγώγων.

Κάτι δεν πάει καλά.

Για $x\in (0,1)$ είναι $\frac{x}{x-1}< 0$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Θα δώσω μια λύση χωρίς παραγώγους βασιζόμενος στην ανισότητα

$\ln x> 1-\frac{1}{x},x>0,x\neq 1$

Η κλασσική απόδειξη της παραπάνω χρησιμοποιεί παραγώγους όποτε
μπορεί να ειπωθεί ότι έγινε μια τρύπα στο νερό.

Δεν είναι όμως έτσι.Γιατί αν ορίσουμε τον λογάριθμο με αυστηρό τρόπο π.χ

$\ln x=\lim_{n\rightarrow \infty }n(\sqrt[n]{x}-1)$

τότε με λίγη δουλεία αποδεικνύεται η ανισότητα.

Θα δείξουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα

Εστω $0<x_{1}<x_{2}<1$

Η $f(x_{1})<f(x_{2})$ είναι ισοδύναμη με την

$\ln \dfrac{x_{2}(1-x_{1})}{x_{1}(1-x_{2})}>x_{2}-x_{1}$

που ισχύει γιατί η παράσταση μέσα στον λογάριθμο είναι διαφορετική του

και

$\ln \dfrac{x_{2}(1-x_{1})}{x_{1}(1-x_{2})}>1-\dfrac{x_{1}(1-x_{2})}{x_{2}(1-x_{1})}=\dfrac{x_{2}-x_{1}}{x_{2}(1-x_{1})}> x_{2}-x_{1}$

Μονοτονία χωρίς παραγώγους

Μονοτονία χωρίς παραγώγους

Re: Μονοτονία χωρίς παραγώγους

Re: Μονοτονία χωρίς παραγώγους

Μέλη σε σύνδεση