Συναρτησιακή ανίσωση-όριο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
για την οποία ισχύει

Για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$

$f^{2}(x)-2f(x)f(x+y)+(y^{2}+1)f^{2}(x+y)\leq 2y^{2}$

Να βρεθεί αν υπάρχει το

$\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(\sqrt{x^{2}+1})+2}{f(x)+2}$

Σημείωση.Η ίδια με κάποιες παραπάνω προυποθέσεις είχε τεθεί από τον Νίκο Ζανταρίδη
στο Μαθηματικό Εργαστήρι.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2018 11:40 pm
Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
για την οποία ισχύει

Για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$

$f^{2}(x)-2f(x)f(x+y)+(y^{2}+1)f^{2}(x+y)\leq 2y^{2}$

Να βρεθεί αν υπάρχει το

$\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(\sqrt{x^{2}+1})+2}{f(x)+2}$

Σημείωση.Η ίδια με κάποιες παραπάνω προυποθέσεις είχε τεθεί από τον Νίκο Ζανταρίδη
στο Μαθηματικό Εργαστήρι.

Γράφουμε $\dfrac{f(\sqrt{x^{2}+1})+2}{f(x)+2}= \dfrac{f(\sqrt{x^{2}+1})-f(x)+f(x)+2}{f(x)+2}= 1+\dfrac{f(\sqrt{x^{2}+1})-f(x)}{f(x)+2}.$

Από τη δοσμένη εφαρμόζωντας τη γνωστή ταυτότητα και διαιρώντας κάθε μέλος με $y^2,y\neq 0$ παίρνουμε

$\left (\frac{f(x)-f(x+y)}{y} \right )^2+f^2(x+y)\leq 2$ για κάθε $x,y \in R, y\neq 0.$ Αλλάζουμε για ευκολία

τον συμβολισμό σε a=x,b=x+y

οπότε η προηγούμενη γράφεται $\left (\frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )^2+f^2(b)\leq 2$

για κάθε $a,b \in R, a\neq b.$ Από την τελευταία παίρνουμε για κάθε $b \in R :f^2(b)\leq 2\Rightarrow |f(b)|\leq \sqrt{2}$

οπότε έχει νόημα(σχολική ύλη) να αναζητήσουμε το όριο (δεν μηδενίζεται ο παρονομαστής σε περιοχή του $+\infty$ )

Επίσης παίρνουμε $\left (\frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )^2\leq 2\Rightarrow |f(a)-f(b)|\leq \sqrt{2}|a-b|.$

Για $a=\sqrt{x^2+1},b=x$ (εύκολα ελέγχουμε ότι ισχύει $a\neq b$ ) παίρνουμε

$\lim_{x\rightarrow +\infty }|\sqrt{x^2+1}-x|= \lim_{x\rightarrow +\infty }|\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}|=0$ και

επομένως $\lim_{x\rightarrow +\infty }|f(\sqrt{x^2+1})-f(x)|=0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }\left (f(\sqrt{x^2+1})-f(x) \right )=0$

Άρα $\left |\frac{f(\sqrt{x^2+1})-f(x)}{f(x)+2} \right |\leq \left |\frac{f(\sqrt{x^2+1})-f(x)}{2-\sqrt{2}} \right |\rightarrow 0$

Το ζητούμενο όριο λοιπόν είναι 1.

Συναρτησιακή ανίσωση-όριο

Συναρτησιακή ανίσωση-όριο

Re: Συναρτησιακή ανίσωση-όριο

Μέλη σε σύνδεση