Μονοτονία

ann79 · #1

Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση $f(x)=x-\sqrt{x^{2}+9}$ χωρίς τη χρήση παραγώγων.

#2

Καλησπέρα,

Παλαιότερα είχε τεθεί ένα παρόμοιο θέμα. Μπορείτε να δείτε εδώ καθώς και τις παραπομπές που υπάρχουν εκεί.

Το θέμα βρίσκεται στο study4exams στη σελίδα http://www.study4exams.gr/math_k/pdf/MK ... D3_EKF.pdf στο 3ο και όχι στο 2ο διαγώνισμα της χρονιάς (όπως αναφέρεται στον παραπάνω σύνδεσμο).

Αλέξανδρος

#3

ann79 έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 20, 2018 1:05 pm
Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση $f(x)=x-\sqrt{x^{2}+9}$ χωρίς τη χρήση παραγώγων.

...Καλημέρα

....

Μια προσέγγιση χωρίς παραγώγους μπορεί να γίνει με το λόγο μεταβολής για ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in R$ με ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ και

$\lambda =\frac{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{1}}-\sqrt{x_{1}^{2}+9}-{{x}_{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+9}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=$

$=\frac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}+\frac{-\sqrt{x_{1}^{2}+9}+\sqrt{x_{2}^{2}+9}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=1+\frac{x_{2}^{2}+9-x_{1}^{2}-9}{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})(\sqrt{x_{2}^{2}+9}-\sqrt{x_{1}^{2}+9})}$

$=1-\frac{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})(\sqrt{x_{1}^{2}+9}+\sqrt{x_{1}^{2}+9})}=1-\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+9}+\sqrt{x_{1}^{2}+9}}=$

$=\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+9}-\sqrt{x_{1}^{2}+9}-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+9}+\sqrt{x_{1}^{2}+9}}=-\frac{f({{x}_{1}})+f({{x}_{2}})}{\sqrt{x_{1}^{2}+9}+\sqrt{x_{1}^{2}+9}}>0$ γιατί $f(x)=x-\sqrt{{{x}^{2}}+9}<0,\,\,\,x\in R$

επομένως η συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα στο

...μετα από Π.Μ. της ann79 έγιναν οι αλγεβρικές διορθώσεις και στο συμπέρασμα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#4

Καλησπέρα σε όλους. Θα επιχειρήσω μια προσέγγιση με γεωμετρική εποπτεία.

: 20-9-2018 Ανάλυση.png (21.68 KiB) Προβλήθηκε 1047 φορές

Έστω $\displaystyle y = \sqrt {{x^2} + 9}$ , με $\displaystyle x \in IR$ , και $\displaystyle y \ge 3$ , οπότε $\displaystyle \frac{{{y^2}}}{9} - \frac{{{x^2}}}{9} = 1$ , (C)

.

Η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = x - \sqrt {{x^2} + 9}$ παριστάνει τη διαφορά x – y

των συντεταγμένων τυχαίου σημείου M(x, y)

του θετικού κλάδου της υπερβολής

.

O κλάδος της υπερβολής είναι γνησίως φθίνουσα καμπύλη στο $\displaystyle \left( { - \infty ,\;0} \right]$ .

$\displaystyle {x_1} < {x_2} \le 0 \Rightarrow {y_1} > {y_2} \ge 3 \Rightarrow {x_1} - {y_1} < {x_2} - {y_2}$ , οπότε η διαφορά x – y

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left( { - \infty ,\;0} \right]$ .

O κλάδος της υπερβολής είναι γνησίως αύξουσα καμπύλη στο $\displaystyle \left[ {0,\; + \infty } \right)$ .

$\displaystyle 0 \le {x_1} < {x_2} \Rightarrow 3 \le {y_1} < {y_2} \Rightarrow {x_1} + {y_1} < {x_2} + {y_2} \Rightarrow \frac{{ - 9}}{{{x_1} + {y_1}}} < \frac{{ - 9}}{{{x_2} + {y_2}}} \Rightarrow {x_1} - {y_1} < {x_2} - {y_2}$ ,
οπότε η διαφορά x – y

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[ {0,\; + \infty } \right)$ .

Αφού η διαφορά x-y

είναι συνεχής συνάρτηση, θα είναι γνησίως αύξουσα στο

.

KARKAR · #5

: γν. αύξουσα.png (9.3 KiB) Προβλήθηκε 1027 φορές

Η

είναι φανερά γνησίως φθίνουσα , συνεπώς η f=-g

είναι γνησίως αύξουσα .

#6

Θανάση, ίσως δεν είναι σε όλους σαφές γιατί "είναι φανερό ότι η

είναι γνήσια φθίνουσα". Εννοείται ότι θέλουμε να αποφύγουμε να βασιστούμε στο σχέδιο του λογισμικού και να ισχυριστούμε "με το μάτι" το αποτέλεσμα (*).

Σημειώνω ότι το πρόβλημα είναι ότι για x>0

η

είναι άθροισμα μιας αύξουσας και μιας φθίνουσας, οπότε το συμπέρασμα θέλει κάποια αιτιολογία. Η αιτιολογία είναι βέβαια σαφής στον συλλογισμό του Θανάση αλλά δίνω μία λύση για τους μαθητές μας, χάριν πληρότητας, που αποφεύγει τα ωραία τεχνάσματα των παραπάνω λύσεων.

α) Αν x<y<0

τότε

οπότε εύκολα $- \sqrt {x^2+9} < - \sqrt {y^2+9}$ . Προσθέτουμε τώρα κατά μέλη.

β) Αν $0\le x < y$ τότε σχεδόν όπως πριν $\sqrt {x^2+9} < \sqrt {y^2+9}$ . Προσθέτουμε τώρα κατά μέλη είναι $x+ \sqrt {x^2+9} < y+ \sqrt {y^2+9}$

και άρα $\frac {-9}{x+ \sqrt {x^2+9}} < \frac {-9} {y+ \sqrt {y^2+9}}$ ή αλλιώς $x- \sqrt {x^2+9} < y- \sqrt {y^2+9}$ (οι παραστάσεις αυτές είναι ίδιες με τις προηγούμενες).

γ) Αν x<0<y

. Εύκολα βλέπουμε ότι $x- \sqrt {x^2+9} < -3 < y- \sqrt {y^2+9}$ . Πραγματικά π.χ. η δεύτερη ισχύει διότι υψώνοντας στο τετράγωνο εύκολα βλέπουμε ότι $\sqrt {y^2+9} < y+3$ , άρα $-3 < y- \sqrt {y^2+9}$ . Ανάλογα η πρώτη.

Οι τρεις περιπτώσεις καλύπτουν το ζητούμενο.

(*) Παρενθετικά σημειώνω ότι δεν υπάρχει λόγος να σχεδιάσουμε πρώτα την

και από εκεί την

. Μπορούμε εξ ίσου καλά να σχεδιάσουμε απευθείας την

.

Μονοτονία

Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση