Ρίζα εξίσωσης

ann79 · #1

Καλημέρα

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}-1}$ . Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(\frac{1}{1-e}+2-f(lnx))=-1$ .

Tolaso J Kos · #2

ann79 έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 11:16 am
Καλημέρα

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}-1}$ . Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(\frac{1}{1-e}+2-f(lnx))=-1$ .

Καταρχάς παρατηρούμε ότι η

ορίζεται στο $\mathbb{R}^*$ και είναι γνήσια φθίνουσα αφού γράφεται:

$\displaystyle{f(x) =\frac{e^x}{e^x-1} = \frac{1}{e^x-1} + 1}$
Οπότε η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{\begin{aligned} f^{-1}\left ( \frac{1}{1-e} +2-f \left ( \ln x \right ) \right ) =-1 &\Leftrightarrow f^{-1} \left ( \frac{1}{1-e} + 2 - f \left ( \ln x \right ) \right )= f^{-1} \left ( \frac{1}{1-e} \right ) \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{1-e} + 2 - f \left ( \ln x \right ) = \frac{1}{1-e} \\ &\Leftrightarrow f\left ( \ln x \right ) = 2 \\ &\Leftrightarrow f \left ( \ln x \right ) = f \left ( 2 \right ) \\ &\Leftrightarrow x=2 \end{aligned}}$
η λύση της οποίας γίνεται δεκτή.

ann79 · #3

Καλησπέρα, ευχαριστώ για την απάντηση.

Για να πούμε όμως ότι η λύση x=2

είναι δεκτή, δεν πρέπει πρώτα να βρούμε το πεδίο ορισμού της f(lnx)

( που είναι το
$(0,1)\cup (1,+\infty)$ ) αλλά και να πούμε και ότι όλο το $\frac{1}{1-e}+2-f(lnx)$ να ανήκει στο πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ (που βρίσκω ότι είναι $(-\infty,0)\cup (1,+\infty)$ );;

O λόγος της ανάρτησής μου είναι το παραπάνω και πόσο η παράλειψή του δεν θα "κόστιζε" σε ένα επίσημο γραπτό.

Tolaso J Kos · #4

Προφανώς και πρέπει να τα πούμε. Δεν έγραψα με λεπτομέρειες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 11:38 am

ann79 έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 11:16 am
Καλημέρα

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}-1}$ . Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(\frac{1}{1-e}+2-f(lnx))=-1$ .

Καταρχάς παρατηρούμε ότι η ορίζεται στο $\mathbb{R}^*$ και είναι γνήσια φθίνουσα αφού γράφεται:

$\displaystyle{f(x) =\frac{e^x}{e^x-1} = \frac{1}{e^x-1} + 1}$

Για κοίταξε πάλι το γνησίως φθίνουσα

Ρίζα εξίσωσης

Ρίζα εξίσωσης

Re: Ρίζα εξίσωσης

Re: Ρίζα εξίσωσης

Re: Ρίζα εξίσωσης

Re: Ρίζα εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση