Σύνολο τιμών

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1755
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Ιούλ 01, 2018 8:23 pm

Η συνάρτηση f:R\rightarrow R είναι συνεχής και ισχύει |f(x)-f(y)|\geq |x-y| για κάθε x,y\in R. Να δείξετε ότι f(R)=R.

Ευχαριστώ.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 634
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Ιούλ 01, 2018 11:06 pm

pito έγραψε:
Κυρ Ιούλ 01, 2018 8:23 pm
Η συνάρτηση f:R\rightarrow R είναι συνεχής και ισχύει |f(x)-f(y)|\geq |x-y| για κάθε x,y\in R. Να δείξετε ότι f(R)=R.

Ευχαριστώ.
Μια απόδειξη στα όρια της ύλης (αν και νομίζω ότι έχουν ξεπεραστεί)

H f είναι 1-1 γιατί \displaystyle{ x\neq y\Rightarrow |x-y|> 0\Rightarrow |f(x)-f(y)|>0 \Rightarrow f(x)\neq f(y) . }

Επειδή είναι και συνεχής θα είναι γνησίως μονότονη. Από σχολικό θεώρημα τα \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow \pm \infty } f(x) }

θα υπάρχουν είτε ως πραγματικοί είτε ως \pm \infty . Αν υποθέσουμε ότι \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow + \infty } f(x) =l \in\mathbb{R}}

τότε κρατώντας σταθερό το y παίρνουμε

\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\geq |x-y|\Rightarrow \lim_{x\rightarrow + \infty } |f(x)-f(y)|\geq \lim_{x\rightarrow + \infty }|x-y| }\Rightarrow |l-f(y)|\geq +\infty

το οποίο προφανώς είναι άτοπο. Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow - \infty } f(x) =l \in\mathbb{R}}.

Άρα η συνέχεια, η μονοτονία και το γεγονός ότι \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow + \infty } f(x) =+\infty} και \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow - \infty } f(x) =-\infty}

(για γνησίως αύξουσα και ανάποδα για γνησίως φθίνουσα) μας δίνει το ζητούμενο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύνολο τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιούλ 02, 2018 10:36 am

Υπάρχει λύση καθαρά σχολική.
(Δεν χρειάζεται η μονοτονία).
Αν δεν γίνει θα την κάνω το βράδι.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1534
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Σύνολο τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Ιούλ 02, 2018 2:51 pm

pito έγραψε:
Κυρ Ιούλ 01, 2018 8:23 pm
Η συνάρτηση f:R\rightarrow R είναι συνεχής και ισχύει |f(x)-f(y)|\geq |x-y| για κάθε x,y\in R. Να δείξετε ότι f(R)=R.

Ευχαριστώ.
...μια λύση χωρίς μονοτονία....

Η f:R\rightarrow R είναι '1-1' όπως παραπάνω ο Λάμπρος και τώρα

Αν x>y θα είναι f(x)>f(y) ή f(x)<f(y)

Όταν f(x)>f(y) τότε έχουμε ότι f(x)-f(y)\ge x-y\Leftrightarrow f(x)\ge x-y+f(y) και τότε

f(x)\ge x+f(0)για κάθε x>0 και επειδή \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(x+f(0))=+\infty είναι και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty

Επίσης ισχύει -f(y)\ge x-y-f(x)\Leftrightarrow f(y)\le -x+y+f(x)και τότε f(y)\le y+f(0) για κάθε y<0 και επειδή

\underset{y\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(y+f(0))=-\infty θα είναι και \underset{y\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(y)=-\infty και επομένως f(R)=R.

Όταν f(x)<f(y) τότε έχουμε ότι -f(x)+f(y)\ge x-y\Leftrightarrow -f(x)\ge x-y+f(y)\Leftrightarrow f(x)\le -x+y-f(y) και τότε

f(x)\le -x+f(0)για κάθε x>0 και επειδή \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(-x+f(0))=-\infty είναι και

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty Επίσης ισχύει f(y)\ge x-y+f(x)και τότε f(y)\ge -y+f(0) για κάθε y<0 και

επειδή \underset{y\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(y+f(0))=+\infty θα είναι και

\underset{y\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(y)=+\infty και τότε πάλι f(R)=R

Ανάλογα όταν x<y

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύνολο τιμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιούλ 02, 2018 11:48 pm

pito έγραψε:
Κυρ Ιούλ 01, 2018 8:23 pm
Η συνάρτηση f:R\rightarrow R είναι συνεχής και ισχύει |f(x)-f(y)|\geq |x-y| για κάθε x,y\in R. Να δείξετε ότι f(R)=R.

Ευχαριστώ.
Οπως γράψανε και οι προηγούμενοι η συνάρτηση είναι 1-1.

Θέτουμε y=0 και έχουμε

|f(x)-f(0)|\geq |x| (1).

Για x>0 είναι f(x)-f(0)\neq 0

Ετσι η συνεχής f(x)-f(0) διατηρεί πρόσημο στο (0,\infty )

1)περίπτωση

Για x>0 είναι f(x)-f(0)>0.

Η (1) δίνει f(x)\geq f(0)+x

Εστω a>0

είναι f(a)>f(0)+a>f(0)

Το Θ.Ε.Τ δίνει ότι f(0)+a\in f([0,\infty ))

Αμεσα συμπεραίνουμε ότι f([0,\infty ))\supseteq[f(0),\infty )

Λόγω του προηγουμένου και επειδή η f είναι 1-1 έχουμε ότι

για x<0 είναι f(x)<f(0).

Αρα για x<0 είναι f(0)-f(x)\geq -x

η f(x)<x+f(0)

Η προηγούμενη δίνει για a<0 ότι f(a)<a+f(0)<f(0)

Πάλι από Θ.Ε.Τ παίρνουμε ότι f((-\infty ,0])\supseteqq (-\infty ,f(0)]

Αρα f(\mathbb{R})=f((-\infty ,0])\cup f([0,\infty ))\supseteq (-\infty ,f(0)]\cup [f(0),\infty )=\mathbb{R}

Δηλαδή f(\mathbb{R})=\mathbb{R}

2)περίπτωση

Για x>0 είναι f(x)-f(0)<0

αντιμετοπίζεται ανάλογα.

Εναλλακτικά μπορούμε να θεωρήσουμε την -f και να πέσουμε στην 1)περίπτωση


Παρατήρηση.
Η παραπάνω λύση χρησιμοποιεί μόνο την θεωρία του σχολικού βιβλίου.Σε καμία περίπτωση δεν θεωρώ ότι είναι στο
πνεύμα του σχολικού βιβλίου.


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1755
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Σύνολο τιμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Ιούλ 08, 2018 8:05 am

Σας ευχαριστώ όλους θερμά για την ενασχόληση.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης