Παραμετρικό όριο

pito · #1

Καλησπέρα

.

Έστω η συνάρτηση f(x)=(k+1)lnx+ln(x-1)-ln2, x>1

. Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού

για την οποία το όριο $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.

Ευχαριστώ.

#2

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

pito έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 18, 2018 12:08 pm
Καλησπέρα .

Έστω η συνάρτηση . Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού για την οποία το όριο $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.

Ευχαριστώ.

...Καλησπέρα

μια αντιμετώπιση....

Αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=l\in R$ τότε από f(x)=(k+1)lnx+ln(x-1)-ln2, x>1

έχουμε ότι

$\frac{f(x)}{\ln x}=k+1+\frac{ln(x-1)}{\ln x}-\frac{\ln 2}{\ln x}$ (1) και επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{\ln x}=0$

και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ln(x-1)}{\ln x}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x-1}}{\frac{1}{x}}=1$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln 2}{\ln x}=0$

αναγκαία λόγω της (1) θα είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{\ln x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(k+1+\frac{ln(x-1)}{\ln x}-\frac{\ln 2}{\ln x})$ άρα $0=k+1+1-0\Rightarrow k=-2$

τότε στην αρχική ισότητα $f(x)=-lnx+ln(x-1)-ln2=\ln \left( \frac{x-1}{2x} \right)$ και επειδή

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{2x}=\frac{1}{2}$ είναι και

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left( \frac{x-1}{2x} \right)=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2$ επομένως k=-2

δεκτή

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

pito · #4

Καλημέρα, σας ευχαριστώ θερμά για τις απαντήσεις σας!

Παραμετρικό όριο

Παραμετρικό όριο

Re: Παραμετρικό όριο

Re: Παραμετρικό όριο

Re: Παραμετρικό όριο

Μέλη σε σύνδεση