Ισότητα παραμέτρων

Tolaso J Kos · #1

Έστω η συνάρτηση $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ και $f\left ( \left ( 0, +\infty \right ) \right )\subseteq (0, +\infty)$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{f(xf(y))=x^\mu y^\nu \quad \text{\gr για κάθε} \;\; \mu , \nu \in \mathbb{N}}$ Να δειχθεί ότι $\mu^2=\nu$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 17, 2018 12:46 pm
Έστω η συνάρτηση $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ και $f\left ( \left ( 0, +\infty \right ) \right )\subseteq (0, +\infty)$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{f(xf(y))=x^\mu y^\nu \quad \text{\gr για κάθε} \;\; \mu , \nu \in \mathbb{N}}$ Να δειχθεί ότι $\mu^2=\nu$ .

Νομίζω ότι το
$\displaystyle{f(xf(y))=x^\mu y^\nu \quad \text{\gr για κάθε} \;\; \mu , \nu \in \mathbb{N}}$ πρέπει να αντικατασταθεί με το

$\displaystyle{f(xf(y))=x^\mu y^\nu$ για κάθε x,y> 0

Tolaso J Kos · #3

Σταύρο δίκιο έχεις.

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 17, 2018 12:46 pm
Έστω η συνάρτηση $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ και $f\left ( \left ( 0, +\infty \right ) \right )\subseteq (0, +\infty)$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{f(xf(y))=x^\mu y^\nu \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x, y>0 \quad \text{\gr και} \; \; \mu, \nu \in \mathbb{N}}$ Να δειχθεί ότι $\mu^2=\nu$ .

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 20, 2018 7:28 am

Έστω η συνάρτηση $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ και $f\left ( \left ( 0, +\infty \right ) \right )\subseteq (0, +\infty)$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{f(xf(y))=x^\mu y^\nu \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x, y>0 \quad \text{\gr και} \; \; \mu, \nu \in \mathbb{N}}$ Να δειχθεί ότι $\mu^2=\nu$ .

Παρακάτω θεώρησα ότι $0\notin \mathbb{N} .$

Για x=y=1

είναι

Για

είναι $f(xf(1))=x^{\mu }.$ Για ευκολία θέτουμε a=f(1)>0

και παίρνουμε

$f(a x)=x^{\mu }\Rightarrow f(w)=\frac{w^{\mu }}{a^{\mu }},w>0 (2)$
(έθεσα w=ax

)

Για

$f(1)=\frac{1}{a^{\mu }}$ και αντικαθιστώντας στην (1)

παίρνουμε

$f(f(1))=1\Rightarrow \frac{1}{a^{\mu ^{2}+\mu }}=1\Rightarrow a^{\mu ^{2}+\mu }=1\Rightarrow a=f(1)=1.$
Από (2)

και την τελευταία παίρνουμε

$f(x)=x^{\mu },x>0 .$
Από τη δοσμένη για x=1

έχουμε $f(f(y))=y^{\nu }$ και σε συνδυασμό με την $f(x)=x^{\mu }$

λαμβάνουμε
$f(y^{\mu })=y^{\nu }\Rightarrow y^{\mu ^{2}}=y^{\nu }\Rightarrow \mu ^{2} = \nu.$

Ισότητα παραμέτρων

Ισότητα παραμέτρων

Re: Ισότητα παραμέτρων

Re: Ισότητα παραμέτρων

Re: Ισότητα παραμέτρων

Μέλη σε σύνδεση