Σελίδα 1 από 1

Δύο ασκήσεις από ένα διαγώνισμα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 03, 2018 11:35 pm
από polysot
Δύο θέματα από ένα διαγώνισμα...

Θέμα Α.
Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = \frac{\sin{x-1}}{x^2 + x -2}. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια :
i) \lim_{x \to + \infty} f(x).
ii) \lim_{x \to 2} f(x).
iii) \lim_{x \to x_0} f(x) , x_0 \in \mathbb{R}-\{2\}.

Θέμα Β.

Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrrow \mathbb{R} με f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}, η οποία είναι και 1-1, ώστε:

\displaystyle{\displaystyle  f(x) - x \leq 0 , \forall x \in \mathbb{R}}
i. Να υπολογιστούν τα όρια: \lim_{x \to - \infty} f(x) και \lim_{x \to + \infty} f^{-1}(x).
ii. Αν επιπλέον ισχύει ότι:  \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin{x}} = l \in \mathbb{R}, να βρεθεί το l.

Re: Δύο ασκήσεις από ένα διαγώνισμα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 04, 2018 1:38 am
από Friedoon
polysot έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 11:35 pm
Θέμα Β.

Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrrow \mathbb{R} με f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}, η οποία είναι και 1-1, ώστε:

\displaystyle{\displaystyle  f(x) - x \leq 0 , \forall x \in \mathbb{R}}
i. Να υπολογιστούν τα όρια: \lim_{x \to - \infty} f(x) και \lim_{x \to + \infty} f^{-1}(x).
ii. Αν επιπλέον ισχύει ότι:  \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin{x}} = l \in \mathbb{R}, να βρεθεί το l.
i)Επειδή f(x)\leq x κοντά στο -\infty και \lim_{x \to -\infty}x=-\infty έχουμε \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty

Θέτουμε όπου x το f^{-1}(x) στη δοθείσα ανισότητα και παίρνουμε x \leq f^{-1}(x) για κάθε x \in \mathbb{R}}

και ακόμα ισχύει \lim_{x \to +\infty}x=+\infty και άρα \lim_{x \to +\infty}f^{-1}(x)=+\infty

ii) Για κάθε x\in (-\dfrac{\pi}{2},0) ισχύει f(x)\leq x \Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{\sin{x}} \ge \dfrac{x}{\sin{x}}

άρα \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f(x)}{\sin{x}} =l \ge \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{\sin{x}}=1

Για κάθε x\in (0,\dfrac{\pi}{2}) ισχύει f(x)\leq x \Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{\sin{x}} \leq \dfrac{x}{\sin{x}}

άρα \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x)}{\sin{x}} =l \leq \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\sin{x}}=1

άρα 1\leq l \leq 1 \Leftrightarrow l=1

Re: Δύο ασκήσεις από ένα διαγώνισμα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 05, 2018 5:12 pm
από Σταμ. Γλάρος
polysot έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 11:35 pm
Δύο θέματα από ένα διαγώνισμα...

Θέμα Α.
Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = \frac{\sin{x-1}}{x^2 + x -2}. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια :
i) \lim_{x \to + \infty} f(x).
ii) \lim_{x \to 2} f(x).
iii) \lim_{x \to x_0} f(x) , x_0 \in \mathbb{R}-\{2\}.

Θέμα Β.

Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrrow \mathbb{R} με f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}, η οποία είναι και 1-1, ώστε:

\displaystyle{\displaystyle  f(x) - x \leq 0 , \forall x \in \mathbb{R}}
i. Να υπολογιστούν τα όρια: \lim_{x \to - \infty} f(x) και \lim_{x \to + \infty} f^{-1}(x).
ii. Αν επιπλέον ισχύει ότι:  \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin{x}} = l \in \mathbb{R}, να βρεθεί το l.
Καλησπέρα :santalogo: και Καλή Χρονιά!
Χρόνια πολλά, καλά και δημιουργικά σε όλους!
Μια προσπάθεια στο θέμα Α ...
i) Είναι f(x)=\dfrac{sinx -1}{x^2}\cdot \dfrac{1}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}= g(x)\cdot \dfrac{1}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}} , με  g(x) =  \dfrac{sinx-1}{x^2}

Στη συνέχεια έχουμε : \left | g(x) \right |= \left | \dfrac{sinx-1}{x^2} \right | \leqslant \dfrac{|sinx|+|-1|}{x^2}\leq \dfrac{2}{x^2} \Leftrightarrow -\dfrac{2}{x^2}\leq g(x)\leq \dfrac{2}{x^2} .
Άρα από Κ.Π. συμπεραίνουμε ότι \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }g(x)=0.
Επίσης \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}} = 1.

Συνεπώς και \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0.

ii) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ως πηλίκον συνεχών συναρτήσεων.
Το πεδίο ορισμού της είναι το D_{f}=(-\infty ,-2)\cup (-2,1)\cup (1,+\infty ) .
Συνεπώς \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 2 }f(x)=f(2).

iii) Για x_{o}\neq -2 , x_{o}\neq 1 όπως και παραπάνω έχουμε \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_o }f(x)=f(x_o).

Τώρα για x_o = -2 είναι -\pi <-2<\pi \Rightarrow sin(-2)<0.
Άρα \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -2 }(sin(-2)-1) <0 .
Για x<-2 έχουμε (x+2)(x-1)>0 και \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -2 }(x+2)(x-1)= 0 ,
οπότε :\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -2^{-} }\dfrac{1}{(x+2)(x-1)}}=+\infty .
Άρα \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -2^{-} } f(x) = - \infty .
Ομοίως για x>-2 προκύπτει \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -2^{+} } f(x) = + \infty .
Επομένως δεν υπάρχει το \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -2 } f(x) .

Ομοίως προκύπτει ότι δεν υπάρχει το \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1 } f(x) .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος