Σύνθεση συνεχούς συνάρτησης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10122
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Σύνθεση συνεχούς συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 28, 2017 10:36 am

Έστω f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα ότι για κάθε x \in \mathbb R υπάρχει \displaystyle{n\in \mathbb N^*} (εννοείται ότι εν γένει το n εξαρτάται από το x) τέτοιο ώστε \displaystyle{f^{(n)}(x)=x} (εδώ \displaystyle{f^{(n)}} είναι η σύνθεση της f n φορές). Δείξτε ότι για κάθε x \in \mathbb R ισχύει \displaystyle{f^{(2)}(x)=x}.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1750
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύνθεση συνεχούς συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Δεκ 29, 2017 9:24 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Δεκ 28, 2017 10:36 am
Έστω f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα ότι για κάθε x \in \mathbb R υπάρχει \displaystyle{n\in \mathbb N^*} (εννοείται ότι εν γένει το n εξαρτάται από το x) τέτοιο ώστε \displaystyle{f^{(n)}(x)=x} (εδώ \displaystyle{f^{(n)}} είναι η σύνθεση της f n φορές). Δείξτε ότι για κάθε x \in \mathbb R ισχύει \displaystyle{f^{(2)}(x)=x}.
ΑΠΛΑ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΗ.

Η βασική παρατήρηση είναι ότι αν f^{(n)}(x)=x και k\in \mathbb{N}-\left \{ 0 \right \}

τότε f^{(nk)}(x)=x .

Η απόδειξη γίνεται εύκολα με επαγωγή.

Θα δείξουμε ότι η f είναι 1-1.

Εστω f(x)=f(y)

Είναι f^{m}(x)=x,f^{r}(y)=y,m,r\in \mathbb{N}

Από την f(x)=f(y) παίρνουμε ότι x=f^{(mr)}(x)=f^{(mr)}(y)=y
(χρησιμοποιήθηκε η παρατήρηση )

Αφού η f είναι 1-1 και συνεχής είναι γνήσια μονότονη.

Αρα η g=fof είναι γνησίως αύξουσα.
(σύνθεση γν. αυξουσών ,καθώς και σύνθεση γν. φθινουσών είναι γνησίως αύξουσα)

Λόγω της παρατήρησης θα έχουμε ότι για x\in \mathbb{R} υπάρχει n\in \mathbb{N}

ώστε g^{(n)}(x)=x

Εστω g(x)> x

τότε g(x)> x\Rightarrow g(g(x))> g(x)> x\Rightarrow ......\Rightarrow x=g^{(n)}(x)> x
ΑΤΟΠΟ.

όμοια αν g(x)< x

Αρα g(x)= x για κάθε x\in \mathbb{R}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες