όριο στο άπειρο παραγωγίσιμης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

όριο στο άπειρο παραγωγίσιμης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 25, 2017 6:52 pm

Αν f παραγωγίσιμη στο a και f(a)\ne 0, να βρεθεί το όριο \displaystyle{ \lim _{x\to \infty} \left (  \frac { f\left (  a+  \frac {1}{x}   \right )}{  f(a) }\right )^x}

( H άσκηση γενικεύει μερικές ανάλογες που είδαμε πρόσφατα το φορουμ).



Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 213
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: όριο στο άπειρο παραγωγίσιμης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Δευ Δεκ 25, 2017 9:05 pm

Καλησπέρα κύριε Λάμπρου, μια διαπραγμάτευση:
\displaystyle{(\frac{f(a+\frac{1}{x})}{f(a)})^{x} = (1+\frac{f(a+\frac{1}{x})-f(a)}{\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{f(a)}\cdot\frac{1}{x})^{x}}

Αν πάρω όριο στο άπειρο έχω:
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}(\frac{f(a+\frac{1}{x})-f(a)}{\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{f(a)})=\frac{f'(a)}{f(a)}}

Άρα κατά τα προηγούμενα στο forum το όριο ισούται με:
\displaystyle{e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}}


Αρμενιάκος Σωτήρης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: όριο στο άπειρο παραγωγίσιμης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 25, 2017 9:24 pm

sot arm έγραψε:
Δευ Δεκ 25, 2017 9:05 pm
Άρα κατά τα προηγούμενα στο forum το όριο ισούται με:
\displaystyle{e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}}

Ωραιότατα και αριστοτεχνικά.

Αν θέλαμε κάποια από τα επί μέρους βήματα τότε λογαριθμίζοντας και θέτοντας y=1/x αναγόμαστε στο όριο y\to 0+ του

\displaystyle{ \frac {\ln f(a+y) - \ln f(y)}{y}}. Από τον ορισμό της παραγώγου τείνει στο \displaystyle{ (\ln f(y))'= \frac{f'(y)}{f(y)}} } για y=a, όπως πριν.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης