Σελίδα 1 από 1

Σωστό - Λάθος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 16, 2017 1:49 pm
από Grosrouvre
Έστω συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} γνησίως φθίνουσα στο \mathbb{R}. Αν η f έχει όριο στο x_0 \in \mathbb{R} πραγματικό αριθμό, τότε η f είναι συνεχής στο x_0.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Re: Σωστό - Λάθος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 16, 2017 2:56 pm
από Friedoon
Σωστό.
Έστω \lim_{x \to x_0}f(x)=c

Έστω συνάρτηση g(x)=f(x)-f(x_0)

Τότε έχουμε \lim_{x \to x_0}g(x)=c-f(x_0)

Όμως για κάθε x>x_0 έχουμε λόγω της μονοτονίας της f

f(x)<f(x_0) \Leftrightarrow g(x)<0 \Rightarrow \lim_{x \to x_0^{+}}g(x) \le 0

και για κάθε x<x_0 έχουμε λόγω της μονοτονίας της f

f(x)>f(x_0) \Leftrightarrow g(x)>0 \Rightarrow \lim_{x \to x_0^{-}}g(x) \ge 0

Όμως \lim_{x \to x_0}g(x)=c-f(x_0) \Rightarrow \lim_{x \to x_0^{+}}g(x)=\lim_{x \to x_0^{-}}g(x)

Άρα \lim_{x \to x_0^{+}}g(x)=\lim_{x \to x_0^{-}}g(x)=0=\lim_{x \to x_0}g(x)

Άρα c-f(x_0)=0 \Leftrightarrow c=f(x_0 )

Τελικά η f είναι συνεχής στο x_0

Re: Σωστό - Λάθος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 16, 2017 9:41 pm
από mikemoke
Grosrouvre έγραψε:
Σάβ Δεκ 16, 2017 1:49 pm
Έστω συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} γνησίως φθίνουσα στο \mathbb{R}. Αν η f έχει όριο στο x_0 \in \mathbb{R} πραγματικό αριθμό, τότε η f είναι συνεχής στο x_0.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Είναι σωστό ότι για κάθε x_0 \lim_{x \to x_0+}f(x)=l_1 και
\lim_{x \to x_0-}f(x)=l_2 όπου l_1\geq l_2 και f(x_0)\in [l_2,l_1]