1-1

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

maiksoul
Δημοσιεύσεις: 607
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

1-1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Κυρ Νοέμ 19, 2017 12:38 am

Με αφορμή αυτήν viewtopic.php?f=52&t=60269, που πρότεινε ο κύριος Στεργίου

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδείξετε ότι κάθε συνάρτηση f με την ιδιότητα  e^{f(x)}+xf(x) =x\ln x +x -2 , \forall x>0 είναι 1-1


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: 1-1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Νοέμ 19, 2017 1:21 am

maiksoul έγραψε:
Κυρ Νοέμ 19, 2017 12:38 am
Με αφορμή αυτήν viewtopic.php?f=52&t=60269, που πρότεινε ο κύριος Στεργίου

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδείξετε ότι κάθε συνάρτηση f με την ιδιότητα  e^{f(x)}+xf(x) =x\ln x +x -2 , \forall x>0 είναι 1-1
...μια ανιμετώπιση...της νύχτας...

Έστω ότι υπάρχουν {{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in (0,\,\,+\infty ) με f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})που {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} τότε αν είναι

{{x}_{1}}<{{x}_{2}} επειδή από την δοσμένη σχέση έχουμε

{{e}^{f(x)}}+xf(x)=x\ln x+x-2\Leftrightarrow \frac{{{e}^{f(x)}}}{x}+f(x)=\ln x+1-\frac{2}{x}(1)

προκύπτει ότι \ln {{x}_{1}}<\ln {{x}_{2}},\,\,\frac{2}{{{x}_{1}}}>\frac{2}{{{x}_{2}}}\Leftrightarrow \,-\frac{2}{{{x}_{1}}}<-\frac{2}{{{x}_{2}}}

και με πρόσθεση κατά μέλη

\ln {{x}_{1}}-\frac{2}{{{x}_{1}}}<\ln {{x}_{2}}-\frac{2}{{{x}_{2}}}\Leftrightarrow \ln {{x}_{1}}-\frac{2}{{{x}_{1}}}+1<\ln {{x}_{2}}-\frac{2}{{{x}_{2}}}+1 άρα και

\frac{{{e}^{f({{x}_{1}})}}}{{{x}_{1}}}+f({{x}_{1}})<\frac{{{e}^{f({{x}_{2}})}}}{{{x}_{2}}}+f({{x}_{2}})\Leftrightarrow \frac{{{e}^{f({{x}_{1}})}}}{{{x}_{1}}}<\frac{{{e}^{f({{x}_{2}})}}}{{{x}_{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{{{x}_{1}}}<\frac{1}{{{x}_{2}}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}<{{x}_{1}}

που είναι άτοπο, και όμοια αν {{x}_{1}}>{{x}_{2}} άρα από f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})έχουμε μόνο

{{x}_{1}}={{x}_{2}} άρα η f είναι 1-1

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης