Περί συναρτήσεων ο λόγος

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3347
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Περί συναρτήσεων ο λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Νοέμ 06, 2017 9:36 pm

Βλέπαμε σήμερα με τα παιδιά τη παρακάτω άσκηση από το βιβλίο του Μαυρίδη ( Τόμος Α ) ... ! Τη προτείνω και εδώ.

Έστω δύο συναρτήσεις f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} οι οποίες είναι συνεχείς και τέτοιες ώστε:

\displaystyle{g(x) = -f^2(x)+4f(x) + \kappa \quad \text{\gr όπου} \quad \kappa \in \mathbb{R} \quad \text{\gr και} \quad x \in \mathbb{R}}
  1. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται κάτω από τον άξονα x'x δειχθήτω ότι \kappa<-4.
  2. Αν \kappa=-5 και επιπλέον ισχύει η σχέση
    \displaystyle{f^2(0) + f^2(1) = 6f(0) - 9} αποδείξατε ότι:
    1. f(0)=3 και f(1)=0.
    2. g(x) \leq -1 για κάθε x \in \mathbb{R}
    3. η συνάρτηση g παρουσιάζει ολικό μέγιστο σε κάποιο σημείο x_0 \in (0, 1).
Edit: Διόρθωση τυπογραφικού στον εκθέτη. Είναι 2 αντί για 3. Συγνώμη. Δημήητρη ευχαριστώ.
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Δευ Νοέμ 06, 2017 10:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1347
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Περί συναρτήσεων ο λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Νοέμ 06, 2017 9:51 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Νοέμ 06, 2017 9:36 pm
Έστω δύο συναρτήσεις f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} οι οποίες είναι συνεχείς και τέτοιες ώστε: \displaystyle{g(x) = -f^3(x)+4f(x) + \kappa \quad \text{\gr όπου} \quad \kappa \in \mathbb{R} \quad \text{\gr και} \quad x \in \mathbb{R}}
  1. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται κάτω από τον άξονα x'x δειχθήτω ότι \kappa<-4.
Μήπως μου ξεφεύγει κάτι; Αν η f(x) = 5 σταθερή, τότε η g(x) = -105, \kappa = 0 είναι σταθερή και κάτω από τον άξονα x'x.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3347
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Περί συναρτήσεων ο λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Νοέμ 06, 2017 9:59 pm

dement έγραψε:
Δευ Νοέμ 06, 2017 9:51 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Νοέμ 06, 2017 9:36 pm
Έστω δύο συναρτήσεις f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} οι οποίες είναι συνεχείς και τέτοιες ώστε: \displaystyle{g(x) = -f^3(x)+4f(x) + \kappa \quad \text{\gr όπου} \quad \kappa \in \mathbb{R} \quad \text{\gr και} \quad x \in \mathbb{R}}
  1. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται κάτω από τον άξονα x'x δειχθήτω ότι \kappa<-4.
Μήπως μου ξεφεύγει κάτι; Αν η f(x) = 5 σταθερή, τότε η g(x) = -105, \kappa = 0 είναι σταθερή και κάτω από τον άξονα x'x.
Όχι.. έχω κάνει τυπογραφικό... !! :oops: :oops:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1446
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Περί συναρτήσεων ο λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Νοέμ 07, 2017 1:03 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Νοέμ 06, 2017 9:36 pm
Βλέπαμε σήμερα με τα παιδιά τη παρακάτω άσκηση από το βιβλίο του Μαυρίδη ( Τόμος Α ) ... ! Τη προτείνω και εδώ.

Έστω δύο συναρτήσεις f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} οι οποίες είναι συνεχείς και τέτοιες ώστε:

\displaystyle{g(x) = -f^2(x)+4f(x) + \kappa \quad \text{\gr όπου} \quad \kappa \in \mathbb{R} \quad \text{\gr και} \quad x \in \mathbb{R}}
  1. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται κάτω από τον άξονα x'x δειχθήτω ότι \kappa<-4.
  2. Αν \kappa=-5 και επιπλέον ισχύει η σχέση
    \displaystyle{f^2(0) + f^2(1) = 6f(0) - 9} αποδείξατε ότι:
    1. f(0)=3 και f(1)=0.
    2. g(x) \leq -1 για κάθε x \in \mathbb{R}
    3. η συνάρτηση g παρουσιάζει ολικό μέγιστο σε κάποιο σημείο x_0 \in (0, 1).
Edit: Διόρθωση τυπογραφικού στον εκθέτη. Είναι 2 αντί για 3. Συγνώμη. Δημήητρη ευχαριστώ.
ΛΥΣΗ

i) Είναι g(x)<0\Leftrightarrow -{{f}^{2}}(x)+4f(x)+\kappa <0,\,\,\kappa \in \mathbb{R},\,\,\text{x}\in \mathbb{R}

ισοδύναμα και \kappa +4<{{f}^{2}}(x)-4f(x)+4={{(f(x)-2)}^{2}}\le 0 επομένως \kappa +4<0\Leftrightarrow \kappa <-4

ii) α) Από {{f}^{2}}(0)+{{f}^{2}}(1)=6f(0)-9\Leftrightarrow {{f}^{2}}(0)+{{f}^{2}}(1)-6f(0)+9=0\Leftrightarrow

{{f}^{2}}(1)+{{(f(0)-3)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{f}^{2}}(1)=0 και {{(f(0)-3)}^{2}}=0 ισοδύναμα f(0)=3 και f(1)=0

β) Από g(x)=-{{f}^{2}}(x)+4f(x)-5,\,\,\text{x}\in \mathbb{R} έχουμε ότι

-g(x)={{f}^{2}}(x)-4f(x)+5\Leftrightarrow -g(x)-1={{(f(x)-2)}^{2}}\ge 0,\,\,\text{x}\in \mathbb{R}

οπότε και -g(x)-1\ge 0\Leftrightarrow -g(x)\ge 1\Leftrightarrow g(x)\le -1,\,\,x\in R

c) Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει x_0 \in (0, 1) που να ισχύει g({{x}_{0}})=-1.

Από g(x)=-{{f}^{2}}(x)+4f(x)-5,\,\,\text{x}\in \mathbb{R} έχουμε g(0)=-{{f}^{2}}(0)+4f(0)-5=-9+12-5=-2

και g(1)=-{{f}^{2}}(1)+4f(1)-5=-5...και μετά :ewpu: :ewpu: η κούραση κάτι δεν βλέπω...ο χορηγός θα μας πει...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1375
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Περί συναρτήσεων ο λόγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τρί Νοέμ 07, 2017 8:06 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Τρί Νοέμ 07, 2017 1:03 am
c) Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει x_0 \in (0, 1) που να ισχύει g({{x}_{0}})=-1.
Από το Θεώρημα των Ενδιάμεσων Τιμών, υπάρχει x_0 \in (0, 1) τέτοιο, ώστε f({{x}_{0}})=2, άρα και \displaystyle g\left( {{x_0}} \right) =  - 4 + 8 - 5 =  - 1.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης