Κοινά σημεία συνάρτησης και της αντίστροφης της.

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

coltrane
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 30, 2017 7:56 pm

Κοινά σημεία συνάρτησης και της αντίστροφης της.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από coltrane » Σάβ Σεπ 30, 2017 8:23 pm

Καλησπέρα σε όλους,

είναι το πρώτο μου post στο forum αν και το παρακολουθώ εδώ και καιρό.
Έχω μια ερώτηση η οποία με έχει ταλαιπωρήσει μερικές μέρες τώρα...

Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, η οποία είναι 1-1, τότε αν θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της αντίστροφής της, τότε προφανώς αναζητάμε τις λύσεις της εξίσωσης : f(x)=f^{-1}(x), με την f^{-1}(x):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}.

Αν θεωρήσουμε τώρα την συνάρτηση : g(x)=f(x)-f^{-1}(x),x\epsilon \mathbb{R}, τότε ψάχνουμε τις ρίζες της g, για να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων που ανέφερα παραπάνω.

Κατασκευαστικά μπορώ με τον ορισμό της "1-1" να αποδείξω ότι η g είναι και αυτή 1-1 συνάρτηση, εύκολα κιόλας αφού είναι ορισμένη στο R. Στην πραγματικότητα όμως, δεν είναι πάντα "1-1"!

Μπορεί κάποιος να μου πει που κάνω το λάθος;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Κοινά σημεία συνάρτησης και της αντίστροφης της.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Σεπ 30, 2017 8:37 pm

Καλώς όρισες στο :logo:

Η διαφορά δύο \displaystyle 1 - 1 συναρτήσεων δεν είναι πάντα \displaystyle 1 - 1 συνάρτηση . Π.χ. αν \displaystyle f(x) = g(x) = {x^3} \Rightarrow f(x) - g(x) = 0
Ειδικά για τις \displaystyle f,{f^{ - 1}} , επειδή έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας , δεν μπορείς να βγάλεις συμπέρασμα άμεσα
για τη μονοτονία της \displaystyle g(x) = f(x) - {f^{ - 1}}(x) οπότε δεν αποδεικνύεις το \displaystyle 1 - 1 με χρήση της μονοτονίας .


Kαλαθάκης Γιώργης
sot arm
Δημοσιεύσεις: 182
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Κοινά σημεία συνάρτησης και της αντίστροφης της.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Σάβ Σεπ 30, 2017 8:40 pm

Αφού λοιπόν δεν είναι πάντα '1-1' προφανώς υπάρχει λάθος στην πορεία που κατασκευαστικά δείχνεις ότι η g είναι '1-1',
υποθέτω πού και βάζω μια αντίστοιχη υπόδειξη αν και πρέπει να δείξεις την πορεία που ακολουθείς.
4\neq 5 , 2\neq 3 προφανέστατα, ΄όμως αν τις αφαιρέσω έχω: 2\neq 2 που είναι λάθος


Αρμενιάκος Σωτήρης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11504
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κοινά σημεία συνάρτησης και της αντίστροφης της.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 01, 2017 2:54 am

coltrane έγραψε:
Σάβ Σεπ 30, 2017 8:23 pm
Κατασκευαστικά μπορώ με τον ορισμό της "1-1" να αποδείξω ότι η g είναι και αυτή 1-1 συνάρτηση, εύκολα κιόλας
Ένα εύκολο παράδειγμα που δείχνει ότι ο ισχυρισμός σου είναι εσφαλμένος είναι η f(x)=x+1. Εδώ f^{-1}(x) = x-1, οπότε f(x)-f^{-1}(x) = (x+1)-(x-1)=2 που κάθε άλλο παρά 1-1 δεν είναι. Είναι το άλλο άκρο: σταθερή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης