Αντίστροφη και ανίσωση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8787
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Αντίστροφη και ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 26, 2017 5:31 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f(x) = \ln \frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}

A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

Γ) Αφού αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση \displaystyle {f^{ - 1}} και να λύσετε στο [0,2\pi] την ανίσωση \displaystyle {f^{ - 1}}(\sin x) < {f^{ - 1}}(\cos x)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1544
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Αντίστροφη και ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Σεπ 26, 2017 11:31 pm

Καλησπέρα Γιώργο.

Α) Πρέπει προφανώς x \geqslant 0.

Για να ορίζεται το \ln πρέπει :

\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}>0 \Leftrightarrow 1-\sqrt{x}>0 \Leftrightarrow x<1 \Leftrightarrow 0 \leqslant x <1 \Leftrightarrow \boxed{D_f=[0,1)}.

Β) Θεωρούμε δύο x_1,x_2 \in D_f με x_1<x_2.

Είναι x_1<x_2 \Leftrightarrow \sqrt{x_1}<\sqrt{x_2} \Leftrightarrow 1-\sqrt{x_1}>1-\sqrt{x_2}>0 (1).

Όμοια, αποδεικνύουμε ότι \dfrac{1}{1+\sqrt{x_1}}>\dfrac{1}{1+\sqrt{x_2}}>0 (2).

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις (1), (2) και έχουμε \dfrac{1-\sqrt{x_1}}{1+\sqrt{x_1}}>\dfrac{1-\sqrt{x_2}}{1+\sqrt{x_2}} \mathop \Leftrightarrow \limits^{\ln \, 
 \textnormal{\gr γνησίως \, αύξουσα}}

\ln \dfrac{1-\sqrt{x_1}}{1+\sqrt{x_2}}>\ln \dfrac{1-\sqrt{x_2}}{1+\sqrt{x_2}}\Rightarrow f(x_1)>f(x_2).

Η f(x_1)>f(x_2), σε συνδυασμό με την x_1<x_2, δίνει ότι η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα.

Η συνάρτηση f(x) έχει D_f=[0,1) και είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι το \displaystyle A_f=(\lim_{x \rightarrow 1^-}f(x),f(0)].

Προφανώς, f(0)=0.

Μένει λοιπόν να βρούμε το \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1}f(x).

Θεωρούμε τις συναρτήσεις g(x)=\ln x και h(x)=\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}, οπότε f(x)=(g \circ h)(x)=g(h(x)).

Είναι \displaystyle u_0=\lim _{x \rightarrow 1}h(x)=\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}=0, επομένως θέτοντας u=\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} έχουμε:

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}{f(x)}=\lim _{x \rightarrow 1}(g \circ h)(x)=\lim_{u \rightarrow u_0}\ln u=\lim_{u \rightarrow 0} \ln u=- \infty.

Συνοψίζοντας τα παραπάνω έχουμε A_f=(-\infty,0].

Γ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε είναι 1-1.

Έστω f(x)=y. Τότε, y=\ln \dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \Rightarrow \dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}=e^y \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \sqrt{x}=\dfrac{1-e^y}{1+e^y}.

Πρέπει  \dfrac{1-e^y}{1+e^y} \geqslant 0 \Rightarrow 1-e^y \geqslant 0 \Rightarrow e^y \leqslant 1=e^0 \Rightarrow y \leqslant 0, αφού η e^x είναι η γνησίως αύξουσα.

Οπότε \boxed{f^{-1}(x)=(\dfrac{1-e^x}{1+e^x})^2, \,\, x \leqslant 0}.

Θα δείξουμε τώρα ότι η f^{-1} είναι γνησίως φθίνουσα.

Έστω δύο x_1,x_2 \in D_{f^-1}=A_f=(-\infty,0] με x_1<x_2.


Είναι x_1<x_2 \Rightarrow (f \circ f^{-1})(x_1)<(f \circ f^{-1})(x_2) \Rightarrow f((f^{-1})(x_1))<f((f^{-1})(x_2))

 \mathop \Leftrightarrow \limits^{f \, \textnormal{\gr γνησίως φθίνουσα}} (f^{-1})(x_1)>(f^{-1})(x_2), οπότε f^{-1} γνησίως φθίνουσα.

Πάμε τώρα στην ανίσωση.

Πρέπει καταρχήν \sin x,\cos x \in D_{f^{-1}}=(-\infty,0], οπότε θα προκύψει ότι x \in [\pi,\dfrac{3\pi}{2}].

Τώρα, επειδή η f^{-1}(x) είναι γνησίως φθίνουσα, η ανίσωση γράφεται \sin x>\cos x.

Αν τώρα \cos x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{2} η ανίσωση γίνεται -1>0, αδύνατη.

Επομένως, \cos x \neq 0, και αφού \cos x <0, ανίσωση γίνεται, \tan x<1 \Leftrightarrow  \boxed{x \in [\pi,\dfrac{5\pi}{4})}.

Διόρθωσα την απάντηση όπως πολύ διακριτικά επισημαίνει ο kfd πιο κάτω!!
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Τρί Σεπ 26, 2017 11:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
kfd
Δημοσιεύσεις: 100
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Αντίστροφη και ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Τρί Σεπ 26, 2017 11:45 pm

tanx<1\Leftrightarrow \pi \leqslant x< \frac{5\pi }{4}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης