Κατανόησης (2)

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Κατανόησης (2)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Ιούλ 07, 2017 9:41 pm

function.png
function.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 763 φορές
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης του σχήματος αποτελείται από δύο τεταρτοκύκλια με κέντρα τα \displaystyle{O\,,\,K}.
Εξετάστε αν οι επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες .
α) Η \displaystyle{f} έχει πεδίο ορισμού το \displaystyle{(0,4]}
β) Η \displaystyle{f} έχει σύνολο τιμών το \displaystyle{(0,4]}
γ) Η \displaystyle{f} είναι γνησίως μονότονη στο \displaystyle{{{A}_{f}}}
δ) Η \displaystyle{f} είναι \displaystyle{1-1} στο \displaystyle{{{A}_{f}}}
ε) Η \displaystyle{f} έχει ολικά ακρότατα
ζ) Η \displaystyle{f} αντιστρέφεται και ισχύει \displaystyle{{{f}^{-1}}=f} στο \displaystyle{(0,4]}
( Αιτιολογείστε με συντομία την απάντησή σας στο (ζ))
Bonus ερώτημα : Βρείτε τον τύπο της \displaystyle{f}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Κατανόησης (2)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Ιούλ 07, 2017 11:25 pm

exdx έγραψε:function.png
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης του σχήματος αποτελείται από δύο τεταρτοκύκλια με κέντρα τα \displaystyle{O\,,\,K}.
Εξετάστε αν οι επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες .
α) Η \displaystyle{f} έχει πεδίο ορισμού το \displaystyle{(0,4]}
β) Η \displaystyle{f} έχει σύνολο τιμών το \displaystyle{(0,4]}
γ) Η \displaystyle{f} είναι γνησίως μονότονη στο \displaystyle{{{A}_{f}}}
δ) Η \displaystyle{f} είναι \displaystyle{1-1} στο \displaystyle{{{A}_{f}}}
ε) Η \displaystyle{f} έχει ολικά ακρότατα
ζ) Η \displaystyle{f} αντιστρέφεται και ισχύει \displaystyle{{{f}^{-1}}=f} στο \displaystyle{(0,4]}
( Αιτιολογείστε με συντομία την απάντησή σας στο (ζ))
Bonus ερώτημα : Βρείτε τον τύπο της \displaystyle{f}
...Καλησπέρα :logo: με μία απάντηση στο θέμα του Γιώργη

α) Σωστό αφού το \Delta =(0,4] είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f}

β) Σωστό αφού το διάστημα (0,4] είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f}

γ) Λάθος αφού στο {{\Delta }_{1}}=(0,2) είναι γνήσια φθίνουσα και στο {{\Delta }_{2}}=[2,\,4]

δ) Σωστό αφού κάθε οριζόντια ευθεία έχει με την γραφική παράσταση της \displaystyle{f} το πολύ ένα κοινό σημείο.

ε) Σωστό αφού ισχύει f(x)\le f(2)=4,\,x\in (2,\,4]

ζ) Σωστό αφού είναι η f είναι \displaystyle{1-1} και η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} είναι συμμετρική ως προς την ευθεία y=x(OK)

Bonus H εξίσωση του κύκλου με κέντρο το O(0,\,0) και ακτίνα \rho =2 έχει αναλυτική εξίσωση {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4

και για το τεταρτοκύκλιο πάνω από τον {x}'x στο διάστημα (0,\,2) είναι {{y}^{2}}=4-{{x}^{2}}\Leftrightarrow y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}

Επίσης η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το K(4,\,4) και ακτίνα \rho =2 έχει αναλυτική εξίσωση {{(x-4)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=4

και για το τεταρτοκύκλιο κα΄τω από την ευθεία y=2και πάνω από την ευθεία y=2 στο διάστημα [2,\,4] είναι

{{(y-4)}^{2}}=4-{{(x-4)}^{2}}\Leftrightarrow |y-4|=\sqrt{4-{{(x-4)}^{2}}}\overset{2\le y\le 4}{\mathop{\Leftrightarrow }}\, 
 
 
-(y-4)=\sqrt{4-{{(x-4)}^{2}}}

\Leftrightarrow y=4-\sqrt{4-{{(x-4)}^{2}}} επομένως ο τύπος της συνάρτησης είναι

f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & \sqrt{4-{{x}^{2}}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0<x<2 \\  
 & 4-\sqrt{4-{{(x-4)}^{2}}},\,\,\,2\le x\le 4 \\  
\end{matrix} \right.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4437
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κατανόησης (2)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιούλ 08, 2017 12:18 am

Γιώργη, Βασίλη καλησπέρα.

Μια μικρή παρατήρηση για τη διατύπωση της ερώτησης (ε);

Όταν λέμε: "η συνάρτηση έχει ολικά ακρότατα" (με απάντηση ΝΑΙ ή ΟΧΙ), εννοούμε: "ΝΑΙ, αν έχει ένα τουλάχιστον, ή ΝΑΙ αν υπάρχουν και τα δύο;

Αν π.χ. παρακάτω υπήρχε η (αληθής) πρόταση: "Η συνάρτηση δεν έχει ελάχιστο.", νομίζω ότι υπάρχει αντίφαση με τον χαρακτηρισμό της πρότασης (ε) ως αληθή.

Νομίζω ότι θα πρέπει να γραφεί: "η συνάρτηση έχει ολικό ακρότατο.".


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8519
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατανόησης (2)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 08, 2017 12:50 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Γιώργη, Βασίλη καλησπέρα.

Μια μικρή παρατήρηση για τη διατύπωση της ερώτησης (ε);

Όταν λέμε: "η συνάρτηση έχει ολικά ακρότατα" (με απάντηση ΝΑΙ ή ΟΧΙ), εννοούμε: "ΝΑΙ, αν έχει ένα τουλάχιστον, ή ΝΑΙ αν υπάρχουν και τα δύο;

Αν π.χ. παρακάτω υπήρχε η (αληθής) πρόταση: "Η συνάρτηση δεν έχει ελάχιστο.", νομίζω ότι υπάρχει αντίφαση με τον χαρακτηρισμό της πρότασης (ε) ως αληθή.

Νομίζω ότι θα πρέπει να γραφεί: "η συνάρτηση έχει ολικό ακρότατο.".
Καλησπέρα (ή μάλλον Καλημέρα) σε όλους!

Συμφωνώ ότι η ερώτηση (ε) μπορεί να ερμηνευθεί με δύο τρόπους. Όπως είναι διατυπωμένη, νομίζω ότι είναι Λάθος (από τη στιγμή που δεν έχει ολικό ελάχιστο). Πιστεύω ότι θα' πρεπε να γραφεί: "η συνάρτηση έχει τουλάχιστον ένα ολικό ακρότατο" ή όπως το διατύπωσε ο Γιώργος Ρίζος (αν θέλουμε να είναι Σωστό).


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Κατανόησης (2)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Ιούλ 08, 2017 10:17 am

Καλημέρα σε όλους
Για το (ε)
Το διατύπωσα έτσι για να είναι η απάντηση "Λάθος"
Είχα υπόψιν το \displaystyle{m \le f(x) \le M} , οπότε η σύζευξη είναι λάθος αφού
η μία πρόταση είναι ψευδής .
Αν , τώρα , με τη χρήση του "έχει" δεν είναι εμφανής η σύζευξη , θα το αλλάξω .

Παρεμφερές : Η γραφική παράσταση της \displaystyle{f(x) = {x^2} + 1} τέμνει τους άξονες . Σ ή Λ ;


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης