Σύνολο τιμών

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Ιουν 30, 2017 10:23 am

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:R\to R} τέτοια ώστε τα \displaystyle{-1,1\in f(R)}.
Να αποδειχθεί ότι η \displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{1+{{f}^{2}}(x)}} έχει μέγιστο και ελάχιστο .

Edit (14:25 ) Διορθώθηκε .
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Παρ Ιουν 30, 2017 2:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9212
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 30, 2017 10:55 am

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:R\to R} τέτοια ώστε τα \displaystyle{-1,1\in f(R)}.
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της \displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{1+{{f}^{2}}(x)}}
Καλημέρα Γιώργη!

edit: Διέγραψα τη λύση γιατί είχε λάθη.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Ιουν 30, 2017 2:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Σύνολο τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Ιουν 30, 2017 1:57 pm

Παρακάτω απαντώ σε μια άλλη εκφώνηση
exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:R\to R} τέτοια ώστε τα \displaystyle{-1,1\in f(R)}.
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της \displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{1+{{f}^{2}}(x)}}
Για το πεδίο ορισμού της σύνθεσης:

\displaystyle{\left. \begin{array}{l} 
h\left( x 
 \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}},x \in R\\ 
f\left( x \right),x \in R 
\end{array} \right\} \Rightarrow g\left( x \right) = h\left( {f\left( x \right)} \right),{D_g} = \{ x \in {D_f} \wedge f\left( x \right) \in {D_h}\}  = \{ x \in R \wedge f\left( x \right) \in R\}  = \{ x \in R/f\left( x \right) \in R\} }

Παρατηρούμε ότι:

\displaystyle{{\left( {1 - \left| {f\left( x \right)} \right|} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 1 + {f^2}\left( x \right) \ge 2\left| {f\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {\frac{{f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}}} \right| \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le g\left( x \right) \le \frac{1}{2}}

Άρα για το σύνολο τιμών:

\displaystyle{g\left( R \right) = \left\{ {x \in R/f{{\left( x \right)}_{ \in R}} \Rightarrow  - \frac{1}{2} \le g\left( x \right) \le \frac{1}{2}} \right\} \subseteq \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]}

Για την πολυφωνία, Γιώργο καταλαβαίνω έτσι όπως το διατυπώνεις ότι εξασφαλίζονται τα άκρα του ευρύτερου συνόλου που είναι το κλειστό, σε καμιά περίπτωση όμως δεν μπορώ να βγάλω συμπέρασμα ακριβώς για το σύνολο τιμών.

π.χ.

\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{c} 
0,|x| \ne 1\\ 
 - 1,x =  - 1\\ 
1,x = 1 
\end{array} \right.}
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Παρ Ιουν 30, 2017 3:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Σύνολο τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Ιουν 30, 2017 2:24 pm

Γιώργο και Χρήστο ευχαριστώ για την ενασχόληση
Πήγα να συντομεύσω την εκφώνηση και προέκυψε το λάθος !
Η άσκηση απλά ζητούσε να αποδειχθεί ότι έχει μέγιστο και ελάχιστο
Διορθώνω ...
Γιώργο , η λύση σου τώρα είναι εντάξει .


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Σύνολο τιμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Ιουν 30, 2017 2:43 pm

Ναι επειδή όμως μένω έωλος στις διατυπώσεις μου και έκανα τον κόπο αν έχεις την καλοσύνη να βάλεις την αρχική σου διατύπωση παράλληλα ώστε να την μεταχειριστώ ως παράθεση, ή όποιον άλλο τρόπο βρεις.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9212
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύνολο τιμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 30, 2017 3:50 pm

εδώ είναι η αρχική διατύπωση:
exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:R\to R} τέτοια ώστε τα \displaystyle{-1,1\in f(R)}.
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της \displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{1+{{f}^{2}}(x)}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9212
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύνολο τιμών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 30, 2017 4:05 pm

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:R\to R} τέτοια ώστε τα \displaystyle{-1,1\in f(R)}.
Να αποδειχθεί ότι η \displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{1+{{f}^{2}}(x)}} έχει μέγιστο και ελάχιστο .

Edit (14:25 ) Διορθώθηκε .
Με τη νέα εκφώνηση.

Έστω \displaystyle{y = g(x) \Leftrightarrow y = \frac{{f(x)}}{{1 + {f^2}(x)}} \Leftrightarrow } \boxed{y{f^2}(x) - f(x) + y = 0} (1)

Αν y\ne 0, η (1) παριστάνει δευτεροβάθμια εξίσωση και για να έχει πραγματικές λύσεις, θα πρέπει

\displaystyle{\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow 1 - 4{y^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}}

Αλλά, υπάρχουν \displaystyle{{x_1},{x_2} \in R} ώστε f(x_1)=-1, f(x_2)=1, απ' όπου g(x_1)=-\dfrac{1}{2}, g(x_2)=\dfrac{1}{2}.

Άρα -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} είναι αντίστοιχα το ελάχιστο και το μέγιστο της g.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: 4ptil, chrispanop2002 και 2 επισκέπτες